数学の偏差値を上げて合格を目指す

数学が苦手な高校生(大学受験生)から数学検定1級を目指す人など,数学を含む試験に合格するための対策を公開

2次試験対策

同じ面積1

積分の面積が等しくなる条件

上野竜生です。今回は積分で求める面積が等しくなる条件を扱います。正攻法と裏技の両方があるタイプを紹介します。裏技はヒラメキが必要なので本番ひらめかなかったときや,ヒラメキが使えない一般の場合にそなえてどちらの解法でもでき […]
法線と囲まれる部分

放物線とその法線の間の面積の最小値

上野竜生です。放物線とその法線の間の面積の最小値を紹介します。特に新しい内容もないのでサクッと流しましょう。 例題 放物線C:y=ax2(a>0)上の点Pから引いた法線をℓとする。Cとℓで囲まれる部分の面積の最小値 […]
指数関数の問題

指数・対数・三角関数の最大最小(数II)

上野竜生です。今回は指数関数・対数関数・三角関数の最大最小問題のうち,多項式の微分の形にもってこれるものを集めました。一見指数関数の問題や三角関数の問題に見えても結局3次関数などに帰着されることがあります。 例題1 \( […]

極値を持つ条件(数II)

上野竜生です。今回は極値をもつ条件・持たない条件を紹介します。一般の場合は数IIIに任せて,今回は数IIの範囲ということで多項式,特に3次式・4次式の場合を紹介します。結果を覚えておくといいこともありますよ。 例題1 \ […]

放物線の直交する接線の交点の軌跡

上野竜生です。今回は放物線の直交する接線の交点の軌跡を紹介します。特に新しいことはなく時間がない人は読まなくてもいいレベルですが,有名事実なのでこのまま出題される可能性があります。 例題 y=ax2(a≠0)上の異なる2 […]

関数が直交する条件

上野竜生です。今回は関数が直交する条件を紹介します。しかし通常,関数の直交は教科書には定義されておらず,出題された時に定義が与えられると思うのでその通りにやるだけです。特に新出事項は出てきませんが応用問題なので紹介してお […]

多項式が(x-a)^2で割り切れる条件

上野竜生です。今回は多項式が(x-a)2で割り切れる条件を考えます。ただし,これの説明には数IIIで習う積の微分を使います。 積の微分 f(x)g(x)をxで微分するとf'(x)g(x)+f(x)g'(x) これは厳密に […]

2次関数の応用(分数関数の値域)

上野竜生です。今回は2次関数の応用で分母または分子が2次式の分数関数の値域を求める問題を紹介します。数IIIの微分ができれば(≒数IIIまで使う理系の人)その方が簡単なのでこのページは不要です。微分せずに解くのはかなり複 […]

常に成り立つ2次不等式の条件

上野竜生です。今回は二次不等式が常に成り立つ条件を考えます。実数全体は比較的楽ですが,ある一部の区間で成り立つ場合や2変数の場合も紹介します。だんだん難しくなりますので少しずつ理解しましょう。 例題1 すべての実数xに対 […]

整数係数方程式の整数解

上野竜生です。整数係数方程式の整数解に関する問題を扱います。整数分野にしてますが数Bの数学的帰納法や数学系大学のアイゼンシュタインの既約判定法を扱っているのでかなり難易度は高いです。超難関大学・特色入試を受ける人は全部理 […]

整数からなる数列の漸化式(余り)

上野竜生です。漸化式で余りに着目するタイプの問題を扱います。注意することはたとえそれが一般項を求められるタイプの漸化式であったとしても求めないほうがエレガントであるということです。なお,漸化式は数Bで習うのでまだ習ってな […]

方程式の整数解

上野竜生です。方程式が整数解をもつ条件を考えます。似たような問題でも方針が違うのでその違いをしっかり理解しないと記述式では大減点になるリスクがあります。 例題1 2次方程式(整数解をもつ) xについての2次方程式\(x^ […]

不定方程式 応用問題

上野竜生です。今回は不定方程式の応用問題に挑戦してみましょう。どれも難問ですが基本は無理やり因数分解することと工夫して候補を絞り込むことです。 例題1 (1)x3+xy2+2xy-6=0を満たす整数(x,y)の組をすべて […]