数学の基礎から共通テスト対策までを扱っています。
三角比の条件から三角形の形状を決定する問題の解き方
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上野竜生です。△ABCにおいて三角比を含んだ条件式が与えられたときに，それがどのような三角形なのかを求める問題を紹介します。基本的にはsin,cosは邪魔なので辺の長さa,b,cで表すことがコツです。 ポイント POIN […]
基礎編・共通テスト対策
三角形の内接円の半径と外接円の半径の違い
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上野竜生です。今回は三角形の内接円と外接円の半径の求め方を整理します。どちらもすでに習ったような基本事項ですが内接円と外接円がごちゃまぜにならないように一度整理しておきましょう。 例題 三角形ABCにおいてAB=4,BC […]
sin18°とcos36°を二等辺三角形から求める
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上野竜生です。sin18°,cos36°は数IIで3倍角の公式まで習うとできますが，数Iの範囲でもうまい図形をかくと求めることができます。かなり有名なのでノーヒントで導き出せるようにしたい問題です。 有名問題 次の図にお […]
15°,75°,22.5°,67.5°の三角比をうまい三角形で求める
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上野竜生です。今回は15°,75°,22.5°,67.5°の三角比を，うまい三角形から求めることを紹介します。数IIの三角関数を習うと二倍角の公式や半角の公式を習うのでそこから求められますが，数Iでも適切な三角形をかいて […]
正n角形の面積・周の長さ
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上野竜生です。今回は正n角形の面積と周の長さを求めます。半径1の円に内接するほうが楽ですが，ついでに一辺が1の正n角形の面積も考えます。もちろん一辺が1の正n角形の周りの長さはnであることはいうまでもありません。 問題 […]
三角比の対称式
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上野竜生です。今回は三角比の対称式を扱います。三角関数には相互法則があるので1つの式（sinθ+cosθの値）がわかるだけでsinθcosθが導け，そこからすべての対称式の値がわかります。 例題 \(\displayst […]
三角比の測量と三角比表
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上野竜生です。数学の問題としてはあまり定番ではない測量の問題ですが，共通テストではよく見かけます。意外と苦戦する人もいるので紹介します。数学的には角度は30°や45°など，きれいな角度しか解きにくいのですが，三角比表を与 […]
4次方程式の解の個数（微分せずに工夫できる２パターン）
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上野竜生です。4次方程式の解の個数に関する問題を紹介します。微分まで習っていれば微分で計算するのが基本ですが，そんなことをしなくてもできるパターンを紹介します。 例題1 複2次式 aを実数とする。 \( x^4-ax^2 […]
和と積から2次方程式をつくる
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上野竜生です。今回は与えられた解をもつ2次方程式の作成や，和と積が与えられたときの2つの値を求めることを行います。実数のときにもやっているかもしれませんが複素数解をもつときを扱っています。 解と係数の関係 実数解をもつと […]
2次方程式のiを用いた解の公式と判別式
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上野竜生です。今回は複素数まで習ったうえでの2次方程式の解の公式と判別式を紹介します。 2次方程式の解の公式 \( ax^2+bx+c=0 \)の解は \( \displaystyle x=\frac{-b \pm \s […]
複素数の導入と四則演算
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上野竜生です。今回は複素数の導入と四則演算・大小比較ができないことと複素数の等式を扱います。 iの定義 実数では2乗すると必ず0以上になるが，2乗して-1になる数をiとする。 もちろんiは実数ではない。iは数直線上にはな […]
（放物線・円と直線の交点の）中点の軌跡
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上野竜生です。今回は中点の軌跡を紹介します。放物線と直線の2つの交点の中点と，円と直線の2つの交点の中点です。放物線は標準ですが，円の方は少し難しいかもしれません。頑張って解いてみましょう。 例題１ 放物線\( y=x^ […]
対数と指数の値・計算
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上野竜生です。指数・対数がわかっているかの最初の問題として，単純な代入計算が問われることもあります。最終的には出来て当たり前のレベルなのですが，最初はつまずくので練習しましょう。 指数と対数の基本計算 \( a\neq […]
分数式の四則演算・繁分数の計算
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上野竜生です。今回は分数式の四則演算と繁分数の計算を紹介します。基本的にはただの数字でやってきた四則演算（通分・約分）をするだけです。文字式での計算になるので因数分解や展開を自由自在に操れないと難しいです。 例題１ 次の […]
円の方程式と方程式から円の中心と半径を求める方法
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上野竜生です。今回は円の方程式を求められるようにします。また，円の方程式っぽいものが与えられたときそれが円なのかどうか，もしも円ならば中心と半径を求められるようにします。 円の方程式 中心がA(a,b)で半径rの円の方程 […]