数IIIの積分の中で単純に計算するだけの分野です。意外と奥が深く関数によってやり方が全然違ったりいろいろな別解が出たりします。
ベータ関数（高校範囲）
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上野竜生です。今回はベータ関数に関する性質を証明します。ベータ関数とは下の問題のB(x,y)のことです。 問題 \(\displaystyle B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \ […]
数III 積分計算
積分（置換積分）何をtとおく？
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上野竜生です。置換積分とは次の公式です。 $$ \int_{a}^{b} f(x)dx= \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t) dt $$ ただし，\( x=g(t) , a=g(\alp […]
単純な置換積分ならわざわざ置換する必要なし
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上野竜生です。ある程度置換積分に慣れてきた人にとってわざわざ何をtとおくか明記して・・・というのは面倒ですね。ある程度単純なものは置換するまでもない積分があります。実際に見てみましょう。 例題１ 不定積分 次の不定積分 […]
部分積分～どっちを微分する？～
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上野竜生です。部分積分の基本の公式と実際の適用パターンについて紹介します。 部分積分の公式 \( \displaystyle \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx \ […]
指数関数×三角関数の不定積分3通りの計算方法
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上野竜生です。∫eaxsinbxdxを計算するときどうしてますか？部分積分で解くのが正攻法ですがいろいろな解き方があります。ここでは部分積分も含めて3パターンのやり方で計算してみます。 今回計算する積分 不 […]
積分の計算（三角関数関連）
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上野竜生です。積分の計算は奥が深いです。ここでは三角関数に関連する積分を扱います。 なおすべて積分定数は省略します。 基本計算 \( \displaystyle \int \sin{x} dx=-\cos{x}\) \( […]
∫1/sinx dxや∫1/cosx dxの計算
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上野竜生です。\(\int \frac{1}{\sin{x}}dx , \int \frac{1}{\cos{x}}dx \)の計算は今まで通り計算できますがこの2つを2パターンで解いてみたいと思います。 \( \dis […]
∫1/(1+cosx)dx , ∫1/(1+sinx)dxなどの計算
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上野竜生です。今回は \( \int \frac{1}{1+\cos{x}}dx , \int \frac{1}{1-\cos{x}}dx , \int \frac{1}{1+\sin{x}}dx , \int \fra […]
√(1+sinx)dx系の積分4パターン
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上野竜生です。√(1+sinx)dx系の積分を4つ(\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin{x}}dx , \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ […]
積分の難問は誘導を利用せよ！
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上野竜生です。積分は非常に奥が深くノーヒントで試験時間中に解くのは難しいものもあります。しかしそういう場合はたいてい(1)などでヒントが与えられています。今回は(1)などのヒントを使って(2)の難問積分を解く方法を紹介し […]
偶関数・奇関数の積分
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上野竜生です。偶関数と奇関数の定積分は簡単に計算できるものもあります。それを紹介します。 偶関数・奇関数とは 偶関数とはf(-x)=f(x)が成り立つものです。y軸について対称となります。 奇関数とはf(-x)=-f(x […]
sinx,cosxの積分でどうしても無理なときはt=tan(x/2)とおく
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上野竜生です。数IIIの積分でsinとcosのみで書かれた式でどうしても計算できないっていうのはほとんどないとは思いますが理論上は作れます。その場合は\( t=\tan{\frac{x}{2}}\)とおくとうまくいく場合 […]