数IIの三角関数です。たくさんの公式を紹介し，適用したり応用したりとなかなか大変な分野です。
sinのチェビシェフの多項式
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上野竜生です。前回はcosのチェビシェフの多項式を紹介しました。今回はsinにも類似の式があることを紹介します。 参考 cosのチェビシェフの多項式 \(g_1(x)=x , g_2(x)=2x^2-1 \) \( g_ […]
数II 三角関数
三角方程式の解き方
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上野竜生です。今回は三角関数の方程式を解くやり方を紹介します。ただ，一般にこうやればいいというのはなく，三角関数のたくさんある性質をうまく使って解くことになります。基本の(1)だけ解ければあとは今までの応用力を試すだけで […]
連立三角方程式
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上野竜生です。今回は2変数で三角方程式を２つ並べた連立方程式を解きます。模範解答のやり方を知っておきましょう。解き方はいろいろあるのである程度のひらめきは必要です。 問題 \( 0\leq x <2\pi , 0 […]
分数式で書かれた三角関数の最大値と最小値
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上野竜生です。三角関数を含んだ関数の最大最小の中でもなかなか難しい，分数関数の問題を紹介します。発想がやや難しいです。 問題 \(0\leq \theta \leq \pi \)のとき，\(\displaystyle f […]
文字定数と三角関数を含む最大最小値・絶対不等式・解の存在条件
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上野竜生です。今回は文字aと三角関数を含む関数の最大・最小をaで表すことをします。しっかり理解しないときっちり場合分けして求めるのは困難です。それができると次は絶対不等式（どんなxでも常に不等式が成り立つようなaの範囲） […]
三角関数の合成
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上野竜生です。今回は三角関数の合成を扱います。三角関数の合成とはsinとcosの和で書かれているものを1つの三角関数にまとめるもので，つまりasinx+bcosx=Asin(x+B)の形にする公式です。AとBの部分の結果 […]
オイラーの不等式R≧2rの三角関数による証明
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上野竜生です。三角形の内接円の半径をr,外接円の半径をRとするとR≧2rが成り立ちます。これをオイラーの不等式といいますが，これを三角関数を用いて証明します。かなり難しいです。 問題 三角形ABCにおいて\(∠A=2\a […]
sinA+sinB+sinCなどの最大値・最小値
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上野竜生です。今回は三角形ABCの3つの角に対してsinA+sinB+sinC,sinAsinBsinC,cosA+cosB+cosC,cosAcosBcosCの最大・最小を扱います。 ちなみにtanA+tanB+tan […]
正三角形の外接円周上の点Pに関する長さの問題
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上野竜生です。今回は半径1の円に内接する正三角形と，円周上の点に関する長さの問題を扱います。動く点が1つしかないので1変数で表すことができる分，難易度は低めですが，線分の長さをうまく三角関数で表すところがポイントです。 […]
三角形とtanの有名問題
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上野竜生です。tanの性質と三角形の性質をあわせると有名な性質が得られます。これを一度見ておきましょう。 例題１ 三角形ABCがある。次の問に答えよ。 (1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCを示せ。 […]
角度の最大（レギオモンタヌスの問題）
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上野竜生です。今回は2定点を見込む角度の最大を求めるレギオモンタヌスの問題を紹介します。「絵がよく見える場所」や「サッカーのキックを決めるのに最適な場所」などの日常のシチュエーションと絡めて出題されることもあります。 問 […]
弧度法
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上野竜生です。角度を表すときは60°などの度数法で表すのが普通でした。しかし，これからは弧度法で表したほうが便利なこともあります。そこで弧度法を学習しておきましょう。 弧度法の定義 半径1の扇形で弧の長さが1の中心角を1 […]
三角関数のグラフの書き方（y=AsinB(x-C)などのタイプ）
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上野竜生です。今回は三角関数のグラフの書き方を紹介します。 基本となるグラフ y=sinxのグラフ このようなグラフになります。-1≦y≦1で周期は2πです。原点を通り原点対称（奇関数）であることも重要です。 y=cos […]
三角関数の加法定理の証明
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上野竜生です。今回は三角関数の加法定理の証明を中心に扱います。加法定理の適用はまた別のページで行います。 三角関数の加法定理 \( \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta} […]
三角関数の加法定理の適用
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上野竜生です。前回は加法定理の証明をしましたが、今回は加法定理を適用して具体的な値を求めていきましょう。 ＜復習＞三角関数の加法定理 \(\sin{(\alpha \pm \beta)}=\sin{\alpha}\cos […]