三角形の五心　性質まとめ

上野竜生です。三角形の○心がからむ問題は問題文の中に直接条件式が書かれておらず「見えない性質」を使うことが多いです。そこでその「見えない性質」をまとめてみました。

外心

• 各辺の垂直二等分線の交点
• 外接円の半径は正弦定理から求める
• 位置ベクトルは\( \displaystyle \frac{\sin{2A}\vec{a}+\sin{2B}\vec{b}+\sin{2C}\vec{c}}{\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}}\)
• 角に関する性質は円周角の定理が使える

内心

• 各角の二等分線の交点→角の二等分の性質が使える

• 位置ベクトルは\( \displaystyle \frac{a\vec{a}+b\vec{b}+c\vec{c}}{a+b+c}\)
• 内接円の半径は三角形の面積を二通りのやりかたで出して求める。
• 頂点Aから内心Iまでの距離はIからABに垂線を引いて求める。
  （垂線の足をHとするとIHは内接円の半径。AHも求めることができる。なぜならAから内接円の接点までの距離は等しいから）

重心

• 頂点から、辺の中点に結ぶ直線（中線）の交点
• 位置ベクトルは\( \displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)であらわされる。
• 重心をGとし、AGとBCの交点をMとする。（MはBCの中点）
  このときAG:GM=2:1

2つめの性質より座標でも簡単に計算できる。A(x₁,y₁,z₁),B(x₂,y₂,z₂),C(x₃,y₃,z₃)を頂点とする三角形の重心の座標は

\(\displaystyle \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) \)である。

平面の時も同様にz成分を無視すればよい。証明は3番目の性質を使い，BCの中点Mの座標を計算してAMを2:1に内分する点の座標を計算すればよい。

垂心

• 頂点から対辺に垂直になるように引いた線の交点
• 位置ベクトルは\( \displaystyle \frac{\tan{A}\vec{a}+\tan{B}\vec{b}+\tan{C}\vec{c}}{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}} \)
• AHとBCの交点をA',BHとCAの交点をB',CHとABの交点をC'とする。
  4点AC'HB'  ,  BA'HC'   ,  CB'HA'　はそれぞれ同一円周上にある。
• 垂直条件がたくさん隠れているのでこの性質を使うぐらいしか方法はない

傍心

• 高校では習わない
• 三角形の外角の二等分線の交点（残りの内角の二等分にもなってます）
• １つの三角形につき３つある。

角の二等分を使うことは内心と同じです。

その他性質

• 三角形の内接円の接点をA',B',C'とする。ただしA'はBC上、B'はCA上C'はAB上にある。このときAA' , BB', CC'は1点で交わる。（ジェルゴンヌ点という。証明はチェバの定理の逆）
• 任意の三角形について外心・重心・垂心は必ず一直線上にあり、（外心から重心までの距離）：（重心から垂心までの距離）＝2:1（オイラー線）

位置ベクトルは重心と内心以外覚えなくていいでしょう。