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上野竜生です。三角形の内接円の半径をr,外接円の半径をRとするとR≧2rが成り立ちます。これをオイラーの不等式といいますが,これを三角関数を用いて証明します。かなり難しいです。

問題

三角形ABCにおいて\(∠A=2\alpha , ∠B=2\beta , ∠C=2\gamma \)とおく。また,外接円の半径をR,内接円の半径をrとする。
(1)\(\displaystyle \frac{r}{R}=4\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma}\)を示せ。
(2)任意の三角形について\(\displaystyle \frac{r}{R} \leq \frac{1}{2} \)が成り立つことを示せ。また,等号成立するのはどんな三角形のときか調べよ。
答え
(1)正弦定理より
\( \displaystyle 2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
∴\( a=2R\sin{2\alpha} ,b=2R\sin{2\beta} , c=2R\sin{2\gamma} \)・・・①
内接円の半径をrとすると三角形ABCの面積は
\( \displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c)r=\frac{1}{2}ab\sin{C} \)
と2通りに表せるので①を代入して整理すると
\( Rr(\sin{2\alpha}+\sin{2\beta} + \sin{2\gamma} )=2R^2 \sin{2\alpha}\sin{2\beta} \sin{2\gamma} \)・・・②
ここで和積の公式を使って左辺の一部を整理する。
\( 2\alpha+2\beta+2\gamma=\pi \)なので\(\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}-\gamma \)に注意する。
\(\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}+\sin{2\gamma} \\= 2\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)} +\sin{2\gamma} =2\sin{(\frac{\pi}{2}-\gamma)}\cos{(\alpha-\beta)}+\sin{2\gamma} \\ =2\cos{\gamma} \cos{(\alpha-\beta)} +2\sin{\gamma}\cos{\gamma} \\ = 2\cos{\gamma} ( \cos{(\alpha-\beta)} + \sin{\gamma)})\\ =2\cos{\gamma} (\cos{(\alpha-\beta)} + \sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta)})\\ =2\cos{\gamma} (\cos{(\alpha-\beta)} +\cos{(\alpha+\beta)} ) \\ = 2\cos{\gamma}(2\cos{\alpha}\cos{\beta}) = 4\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma} \)
これを使うと②は次のように書ける
\( 4Rr\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma} = 2R^2(2\sin{\alpha}\cos{\alpha})(2\sin{\beta}\cos{\beta})(2\sin{\gamma}\cos{\gamma}) \)
\( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},0<\beta<\frac{\pi}{2},0<\gamma<\frac{\pi}{2}\)より\(\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}>0 \)だから
\(\displaystyle \frac{r}{R}=4\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma} \)
(2)積和の公式より
\(\displaystyle \frac{r}{R}=4\cdot -\frac{1}{2} ( \cos{(\alpha+\beta)} -\cos{(\alpha-\beta)} )\sin{\gamma} \\ = -2(\cos{(\frac{\pi}{2}-\gamma)}-\cos{(\alpha-\beta)})\sin{\gamma} \\ = -2(\sin{\gamma}-\cos{(\alpha-\beta)})\sin{\gamma} \\ =2\cos{(\alpha-\beta)}\sin{\gamma} - 2\sin^2{\gamma } \)
ここで\( 0<\gamma<\frac{\pi}{2} \)より\(\sin{\gamma}>0 , \cos{(\alpha-\beta)}\leq 1 \)だから
\(\displaystyle \frac{r}{R} \leq 2\sin{\gamma}-2\sin^2{\gamma} \\ =-2(\sin{\gamma}-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2} \)
等号成立は\(\cos{(\alpha-\beta)}=1 \)かつ\(\sin{\gamma}=\frac{1}{2} \)のとき,つまり\(\alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{6} \)のときだから正三角形のとき。

凸不等式と3変数の相加相乗平均を認めると次のように示せます。
y=sinxは\(0 <x<\pi \)で上に凸だから
\(\displaystyle \frac{\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma}}{3} \leq \sin{(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3})}=\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2} \)
\(\sin{\alpha}>0,\sin{\beta}>0,\sin{\gamma}>0 \)より相加相乗平均の関係から
\(\displaystyle \frac{\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma}}{3} \geq \sqrt[3]{\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma} } \)
2つをまとめると
\(\displaystyle \sqrt[3]{\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma}} \leq \frac{1}{2} \)
だから3乗して4倍すると
\(\displaystyle \frac{r}{R}=4\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma} \leq \frac{1}{2} \)
等号成立は\(\alpha=\beta=\gamma \),つまり正三角形のとき。

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