三角形とtanの有名問題

答え(1)A,B,Cは三角形の内角なので和は180°。つまりC=180°-A-B
\( \tan{C}=\tan{(180°-A-B)}=-\tan{(A+B)} \)である。
(左辺)=\(\tan{A}+\tan{B}-\tan{(A+B)} \)
\( \displaystyle \tan{A}+\tan{B}-\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=-\frac{\tan{A}\tan{B}(\tan{A}+\tan{B})}{1-\tan{A}\tan{B}} \)
(右辺)=\(\tan{A}\tan{B}\tan{(180°-A-B)} \)
\( \displaystyle =-\frac{\tan{A}\tan{B}(\tan{A}+\tan{B})}{1-\tan{A}\tan{B}} \)
となるので(左辺)=(右辺)
(2)tanA+tanB+tanC=Xとおく。
tanA>0,tanB>0,tanC>0なので相加相乗平均の関係から
\(\displaystyle \frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}}{3} \geq \sqrt[3]{\tan{A}\tan{B}\tan{C}} \)
(1)よりX=tanAtanBtanCでもあるから
\(\displaystyle \frac{X}{3} \geq \sqrt[3]{X} \)
X>0より両辺3乗して
\(\displaystyle \frac{X^3}{27} \geq X \)
∴\( X^3-27X=X(X-3\sqrt{3})(X+3\sqrt{3})\geq 0 \)
X>0なので\(X\geq 3\sqrt{3} \)
等号成立はtanA=tanB=tanCつまりA=B=C=60°のとき。
よって最小値は\( 3\sqrt{3} \)

答え(1)C=180°-A-Bより
\(\displaystyle \tan{\frac{C}{2}}=\tan{(90°-\frac{A+B}{2})} = \frac{1}{\tan{\frac{A+B}{2}}} \)
よって左辺=
\(\displaystyle \tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}+(\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{B}{2}})\frac{1}{\tan{\frac{A+B}{2}}} \\ = \displaystyle \tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}+(\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{B}{2}}) \frac{1}{\frac{\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{B}{2}}}{1-\tan{\frac{A}{2}} \tan{\frac{B}{2}}}} \\ = \displaystyle \tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}+(1-\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}})=1 \)
(2)\(\tan{A}\tan{B}=1\)なので
\(\displaystyle \frac{\sin{A}}{\cos{A}} \frac{\sin{B}}{\cos{B}}=1 \)
\( \sin{A}\sin{B}=\cos{A}\cos{B} \)
\( \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}=0 \)
0<A+B<180°よりA+B=90°
よってC=90°となるから三角形ABCは直角三角形。別解
tanA<0かつtanB<0ならA>90°かつB>90°なのでA+B>180°となり，不適。よってtanA>0かつtanB>0であり，0°<A<90°かつ0°<B<90°である。
tanB≠0なので\(\displaystyle \tan{A}=\frac{1}{\tan{B}}=\tan{(90°-B)} \)
A=90°-B
∴A+B=90°。C=90°となるから三角形ABCは直角三角形。

答えA≧B≧Cとしても一般性を失わない
C+C+C≦A+B+C=180°より0°＜C≦60°
0°<x≦60°でtanxは単調増加だから0<tanC≦tan60°=\(\sqrt{3} \)
tanCは整数だからtanC=1
よってC=45°であり，A+B=135°
\( \tan{(A+B)}= \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=-1 \)
∴\( \tan{A}+\tan{B}=\tan{A}\tan{B}-1 \)
\( \tan{A}\tan{B}-\tan{A}-\tan{B}+1=2 \)
∴\( (\tan{A}-1)(\tan{B}-1)=2 \)
C=45°でB≧C=45°だからA＜90°（直角三角形のときはtanAが定義できないので不適）
よって三角形ABCは鋭角三角形であり，この範囲ではtanは単調増加だから
A≧B≧CならばtanA-1≧tanB-1≧tanC-1=0である。
よってtanA-1=2,tanB-1=1しかない。
∴tanA=3,tanB=2,tanC=1となる。
A≧B≧C以外の場合も含めても同様なので求める3つの整数は1,2,3。

答えtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
以下ではa=tanA,b=tanB,c=tanCとおき
a+b+c=abcを解く。
a≧b≧cとしても一般性を失わない
a+a+a≧a+b+c=abc
つまり3a≧abcが成り立つ。
a,b,cのうち少なくとも2つは正である（鋭角三角形なら3つとも正。鈍角三角形なら2つ正）なのでa≧b≧cとすればa>0。
よって両辺をa(>0)で割るとbc≦3
∴(b,c)=(3,1),(2,1),(1,1)
それぞれについてaを求めると
b=3,c=1のときa+4=3a　∴a=2はa≧b≧cを満たさない。
b=2,c=1のときa+3=2a　∴a=3
b=1,c=1のときa+2=a　∴不適
よってa=3,b=2,c=1
a≧b≧c以外も同様なので求める3つの整数は1,2,3。

答えtanXが整数となる場合を考える。
三角形の成立条件よりtanX≠0
もし，tanX≧1ならば45°≦X＜90°
もし，tanX≦-1ならば90°＜X≦135°である。
鈍角三角形ならたとえばA>90°とするとB+C<90°
しかしtanB,tanCはともに整数だから少なくともそれぞれ45°以上となりB+C<90°にならない。∴△ABCは鋭角三角形
tan60°<2なのでtanX≧2ならば60°<X<90°
よってtanA≧2かつtanB≧2かつtanC≧2ならばA+B+C>180°となるので不適。
tanA,tanB,tanCのうち少なくとも1つは1である。
tanC=1としても一般性を失わない。C=45°
このときtanA≧2かつtanB≧2である（∵tanA,tanBの両方が1ならばA+B+C=135°で不適。片方が1なら直角二等辺三角形となるが条件を満たさない）
A>60°,B>60°,C=45°であり，A+B+C=180°だから
60°<A<75°,60°<B<75°でなければならない。
tan67.5°=\( 1+\sqrt{2} <3 \)なのでtanX≧3ならばX>67.5°である。
よってtanA,tanBの両方が3以上になることはない。つまり片方は2である。
tanB=2としても良い。
tanA=tan(180°-45°-B)=tan(135°-B)
\(\displaystyle = \frac{\tan{135°}-\tan{B}}{1+\tan{135°}\tan{B}}=\frac{-3}{1-2}=3 \)
よって3つの整数は1,2,3。

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