三角関数の合成｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。今回は三角関数の合成を扱います。三角関数の合成とはsinとcosの和で書かれているものを1つの三角関数にまとめるもので，つまりasinx+bcosx=Asin(x+B)の形にする公式です。AとBの部分の結果を公式として覚えれば本来は十分です。ですが共通テストのような誘導形式の一部のテストでイジワルにcosのほうの合成をやりなさいといわれることも最近は見られています。結果を暗記するだけだとそういうときに困るので，丸暗記ではなく原理を知っておきましょう。

導出イメージ

\(a\sin{x}+b\cos{x}=A\sin{(x+B)} \)(A>0)の形にすることを三角関数の合成という。
右辺を加法定理で展開する
\( A\sin{x}\cos{B}+A\cos{x}\sin{B} \)
係数を比較すると
\( a=A\cos{B} , b=A\sin{B} \)・・・①
あとはこれを解いてA,Bを求めればよい。
①の2つの式を2乗すると\( a^2+b^2=A^2 \)
つまり\( A=\sqrt{a^2+b^2} \)
これを②に代入すると
\(\displaystyle \sin{B}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} , \cos{B}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
もしこの右辺が綺麗に計算できる形ならBを求める。計算できない形ならこのままおいておけばよい。

とりあえずsinだけでもいいので合成をしっかり行うことが大切です。

sinのほうの合成でもcosのほうの合成でもAは同じ

ではcosで合成してみましょう。
\(a\sin{x}+b\cos{x}=A\cos{(x+B)} \)の形にします。
右辺を加法定理で展開する
\( A\cos{x}\cos{B}-A\sin{x}\sin{B} \)
係数を比較すると
\( a=-A\sin{B} , b=A\cos{B} \)・・・②
∴\( A=\sqrt{a^2+b^2} \)
\(\displaystyle \sin{B}=-\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} , \cos{B}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
このようにBの式が丸暗記だとゴチャゴチャになるぐらいイジワルに違っていますがAの式はどちらも同じです。なので合成するときAは丸暗記でもいいのですぐ求められるようにしましょう。

以下の例題ではAは丸暗記の公式あてはめで求め，Bの部分は公式あてはめで求めるのではなく毎回導出して求めるようにしています。

例題１

\( \sin{\theta}+\cos{\theta}\)を合成せよ。つまり，\( r\sin{(\theta+\alpha)} (r>0, 0\leq \theta < 2\pi )\)の形にせよ。

答え\( r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \)
つまり
\( \sin{\theta}+\cos{\theta}=\sqrt{2} \sin{(\theta+\alpha)} \)
右辺を加法定理で展開すると
\( \sqrt{2}\sin{\theta}\cos{\alpha}+\sqrt{2}\cos{\theta}\sin{\alpha} \)
つまり
\( \displaystyle \sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{2}} \)
となるから\( \alpha=\frac{\pi}{4} \)
∴\(\displaystyle \sqrt{2}\sin{(\theta +\frac{\pi}{4})} \)

１　「合成せよ」ということだけを記述で問われる問題でなければ導出過程を見せる必要はなくいきなり合成結果を見せるだけでいいでしょう。重要なのは合成後に展開して元に戻るか確認すれば見直しができるということです。
２　三角関数の合成の中でもa=1,b=1のときは特によく使われるのでこの結果は自然に覚えることになるでしょう。
３　最後の部分で\( \alpha=\frac{3}{4} \pi \)などとしないようにしましょう。sinのほうの条件は満たしますがcosのほうの符号が反対なので間違いです。

例題２

\( 0\leq x \leq \pi \)のとき，\( 2\sin{x}+3\cos{x} \)の最大・最小値を求めよ。

答え\( 2\sin{x}+3\cos{x}=\sqrt{2^2+3^2}\sin{(x+\alpha)}\)とおける。
\( 2\sin{x}+3\cos{x}=\sqrt{13}\sin{x}\cos{\alpha}+\sqrt{13}\cos{x}\sin{\alpha} \)なので\(\alpha \)は
\(\displaystyle \sin{\alpha}=\frac{3}{\sqrt{13}} , \cos{\alpha}=\frac{2}{\sqrt{13}} \)
を満たす角。特に\( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \)である。
\(\alpha \leq x+\alpha \leq \pi+\alpha \)なので最大値は\( x+\alpha=\frac{\pi}{2} \)のとき\(\sqrt{13} \)
最小値は\( x+\alpha=\pi +\alpha \)のとき。
つまり\( x=\pi\)のときなので合成前の式に代入すると-3。

１　普通は合成を使うのはこういうときです。なのでsinで合成する方法だけ知っておけば「普通は十分」なのです。ですが最近は次の例題３みたいなパターンもあるのでcosで合成することも知っておきたいのです。
２　最小値が\( x+\alpha=\pi+\alpha \)のときと求めた後，合成後のほうに代入すると計算が厄介になることも増えますし，もしαを求める段階でミスすると連鎖して間違うのでもとの関数にいれるほうがいいでしょう。最大・最小の基本は「区間の両側or怪しい点」を調べることです。今回，最大値は合成してsinが最大になる「怪しい点」なので合成が必要ですが最小値は「区間の端っこ」です。両端の値を求めるのに合成は必要ないのです。

例題３

\( 2\sin{\theta}+2\sqrt{3}\cos{\theta}=ア\cos{(\theta-\frac{\pi}{イ})} \)である。アとイに１ケタの整数を入れよ。

答えア=\(\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2 } =\sqrt{4+12}=4 \)
右辺を展開すると
\( 4\cos{\theta}\cos{\frac{\pi}{イ}} + 4\sin{\theta}\sin{\frac{\pi}{イ}}\)
つまり
\( \sin{\frac{\pi}{イ}}=\frac{1}{2} , \cos{\frac{\pi}{イ}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
となるから\( \frac{\pi}{イ}=\frac{\pi}{6} \)
イは1ケタの整数だからイ=6

イの裏技的別解
\( \theta=0 \)を代入すると\( 2\sqrt{3}=4\cos{(-\frac{\pi}{イ})}=4\cos{\frac{\pi}{イ}} \)
イは1ケタの整数だからイ=6
理想はこのあとイ=6を代入したものを展開して係数が一致することを確認したいところです。だけど時間がない場合はこれで終わっても論証不十分ですが正解は得られます。

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