連立三角方程式

上野竜生です。今回は2変数で三角方程式を２つ並べた連立方程式を解きます。模範解答のやり方を知っておきましょう。解き方はいろいろあるのである程度のひらめきは必要です。

問題

模範解答

\(\sin^2{x}+\cos^2{x}=1 \)を利用してxを消去する

別解　2乗して足せば1つの三角関数だけになることを利用するor第2式から1変数消去する

片方のアイデアだけで1変数消去できるのでその後元の式に代入すれば（計算は大変ですが）できます。ですが，やはり大変なので２つのアイデアを同時に使ってみます。

第1式の2乗より
\(\sin^2{x}+2\sin{x}\cos{y}+\cos^2{y}=1 \)
第2式の2乗より
\(\cos^2{x}+2\cos{x}\sin{y}+\sin^2{y}=0 \)
それぞれを加えると
\( 1+2\sin{(x+y)} +1=1 \)
つまり\( \sin{(x+y)}=-\frac{1}{2} \)
0≦x+y＜4πなので\( x+y=\frac{7}{6}\pi , \frac{11}{6}\pi , \frac{19}{6}\pi , \frac{23}{6}\pi \)・・・①
第2式より
\( \cos{x}=-\sin{y}=\cos{(y+\frac{\pi}{2})}\)
\( x=y+\frac{\pi}{2} + 2n\pi , -y-\frac{\pi}{2}+2m\pi \)(n,mは整数)
\(-2\pi < x-y < 2\pi \)よりn=-1,0
つまり\( x-y=-\frac{3}{2}\pi , \frac{\pi}{2} \)・・・②
後半の式（+2mπのほう）については①より不適。
①②より(x,y)を考える。0≦x＜2π,0≦y＜2πを満たすものは
\((x,y)=(\frac{5}{6}\pi , \frac{\pi}{3}) , (\frac{7}{6}\pi , \frac{2}{3}\pi) , (\frac{11}{6}\pi , \frac{4}{3}\pi) , (\frac{\pi}{6},\frac{5}{3}\pi) \)
この中で元の式に代入して当てはまるのは
\( (x,y)=\left( \frac{5}{6}\pi , \frac{\pi}{3} \right) , \left( \frac{\pi}{6} , \frac{5}{3}\pi \right) \)