分数式で書かれた三角関数の最大値と最小値

上野竜生です。三角関数を含んだ関数の最大最小の中でもなかなか難しい，分数関数の問題を紹介します。発想がやや難しいです。

問題

答え(cosθ,sinθ)は単位円でのx座標,y座標に対応する。そこでcosθをxに，sinθをyに対応させて考えてみる
\(\displaystyle \frac{\sin{\theta}-5}{\cos{\theta}-2}=k \)とおいたときのkの最大値・最小値を求めればよいが，x,yに置き換えると
\(\displaystyle \frac{y-5}{x-2}=k \)つまり，y=kx-2k+5となる。
ただし単位円周上でないとcosθ,sinθに対応しないのでこの直線が単位円と交点をもつ範囲の中でkの最大値と最小値を求めればよい。この問題では0≦θ≦πという制限もあるので単位円全体でなく単位円の上半分と交点をもつ条件を考える。
直線の式y=k(x-2)+5は定点(2,5)を通るので(2,5)を通り単位円の上半分と交点をもつ直線の傾きの最大・最小を調べる。

最大は点(1,0)を通るときでそのときのkの値は0=-k+5よりk=5　∴最大値5。
最小は円に接するとき。つまり円の中心と直線の距離が円の半径と等しくなるとき。点(0,0)と直線kx-y-2k+5=0の距離は
\(\displaystyle \frac{|-2k+5|}{\sqrt{k^2+1}}=1 \)
よって\( |-2k+5|^2=(\sqrt{k^2+1})^2 \)
\( 4k^2-20k+25=k^2+1 \)
\( 3k^2-20k+24=0 \)
\(\displaystyle k=\frac{10\pm \sqrt{100-72}}{3}=\frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{3} \)
図より原点と(2,5)を通る直線の傾きより求める直線の傾きのほうが小さいから\( k<\frac{5}{2} \)
よって最小値は\(\displaystyle \frac{10 - 2\sqrt{7}}{3} \)

数IIIまで学習すれば微分して最大・最小を求めることもできますがかなり面倒です。どのぐらい面倒か見てみましょう。

[別解]　数IIIの微分をする

\(\displaystyle f’(\theta)=\frac{\cos{\theta}(\cos{\theta}-2)+\sin{\theta}(\sin{\theta}-5)}{(\cos{\theta}-2)^2} \)
f’(θ)の分子=
\( -5\sin{\theta}-2\cos{\theta}+1 \)
\( 5\sin{\theta}+2\cos{\theta}=1 \)を解く。合成すると
\( \sqrt{29}\sin{(\theta+\alpha)} = 1 \)
ただし\(\alpha\)は\(\sin{\alpha}=\frac{2}{\sqrt{29}} , \cos{\theta}=\frac{5}{\sqrt{29}} \)を満たす角。
\( 0\leq \theta \leq \pi \)より\( \alpha \leq \theta +\alpha  \leq \pi+\alpha \)
\(\displaystyle \sin{(\theta+\alpha)}=\frac{1}{\sqrt{29}} \)を満たすθをβとする。
\(\sin{(\beta+\alpha)}<\sin{\alpha} \)なので\( \frac{\pi }{2}< \beta+\alpha <\pi \)より

\(\displaystyle \sin{(\beta+\alpha)}=\frac{1}{\sqrt{29}},\cos{(\beta+\alpha)}=-\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{29}} \)
増減表は下の通り

\begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \cdots & \beta & \cdots & \pi  \\ \hline f’(\theta) &  & - & 0 & + &  \\ \hline f(\theta) & 5 & \searrow & 最小値f(\beta) & \nearrow & \frac{5}{3} \end{array}

\(\displaystyle f(\beta)=\frac{\sin{\beta}-5}{\cos{\beta}-2}=\frac{\sin{(\beta+\alpha-\alpha)}-5}{\cos{(\beta+\alpha-\alpha)}-2} \\ = \displaystyle \frac{\sin{(\beta+\alpha)}\cos{\alpha}-\cos{(\beta+\alpha)}\sin{\alpha}-5}{\cos{(\beta+\alpha)}\cos{\alpha}+\sin{(\beta+\alpha)}\sin{\alpha}-2} \\ = \displaystyle \frac{\frac{1}{\sqrt{29}} \cdot \frac{5}{\sqrt{29}} + \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{29}} \cdot \frac{2}{\sqrt{29}} - 5}{-\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{29}}\cdot \frac{5}{\sqrt{29}} + \frac{1}{\sqrt{29}} \cdot \frac{2}{\sqrt{29}} -2} \\ =\displaystyle \frac{5+4\sqrt{7}-145}{-10\sqrt{7}+2-58} \\ = \displaystyle \frac{70-2\sqrt{7}}{28+5\sqrt{7}}=\frac{(70-2\sqrt{7})(28-5\sqrt{7})}{(28+5\sqrt{7})(28-5\sqrt{7})} \\ =\displaystyle \frac{2030-406\sqrt{7}}{609} =\frac{10-2\sqrt{7}}{3} \)
以上より最大値は5。最小値は\(\displaystyle \frac{10-2\sqrt{7}}{3} \)

模範解答のほうが文系でもできる範囲ですがヒラメキがいります。別解は頑張って計算すればできますが結構大変です。テストではとにかく解かないといけないのでできるほうでやりましょう。