弧度法

上野竜生です。角度を表すときは60°などの度数法で表すのが普通でした。しかし，これからは弧度法で表したほうが便利なこともあります。そこで弧度法を学習しておきましょう。

弧度法の定義

つまり180°=πrad(円周率)

1radは\( (\frac{180}{\pi}) \)°≒57.2958°

度数法と弧度法の変換はただの比例計算です。つまりたとえば45°が何radか知りたければ

180°：πrad=45°：？rad

を計算すれば良いのです。（45°=\(\frac{\pi}{4}\)rad)

練習問題

とりあえずは有名角30°や45°などが弧度法になれば問題ないでしょう。

1周=360°=2π rad を覚えておきましょう

扇形の弧の長さと面積

弧度法の定義が扇形の弧の長さでやっているので当然扇形の弧の長さや面積を求めるときに便利になります。

今後あまり出てこないので暗記しなくても復元できれば十分です。復元するためにはある程度性質を理解したいところです。

(i)　定義より半径1，中心角1radの弧が1
半径を2倍,3倍にすると弧の長さは2倍3倍・・・となるはずだからrに比例する。
中心角を2倍,3倍にすると弧の長さは2倍3倍・・・となるはずだからxに比例する。
よって弧の長さはrx

などと覚えておけばややこしくなることはないでしょう。

(ii)　1周2π radに対してx radがどのぐらいの割合を占めるかは\( \frac{x}{2\pi} \)

よって面積は\( \pi r^2 \cdot \frac{x}{2\pi}=\frac{1}{2} r^2 x\)

こんなことして何が嬉しいの？

と思うかもしれませんが今後の微分積分という分野ではこのように直しておく方が非常に見やすくなります。さきほどのsinxの例だと

xが弧度法ならsinx≒\(\displaystyle x-\frac{x^3}{6} \)などと書けるのですが度数法だったら

sinx°≒\(\displaystyle \frac{\pi x}{180}-\frac{\pi^3 x^3}{6 \cdot 180^3}\)などとなり

複雑になります。今のうちから弧度法に慣れておきましょう，ということです。