sinのチェビシェフの多項式

上野竜生です。前回はcosのチェビシェフの多項式を紹介しました。今回はsinにも類似の式があることを紹介します。

参考　cosのチェビシェフの多項式

\(g_1(x)=x , g_2(x)=2x^2-1 \)
\( g_{n+2}(x)=2xg_{n+1}(x)-g_{n}(x) \)
とおくと\( \cos{n\theta} = g_n(\cos{\theta}) \)となる。

問題

(1)次の式が成立することに注意
\( \sin{(k+2)\theta} = 2\sin{(k+1)\theta}\cos{\theta}-\sin{k\theta} \)・・・(*)
(*)の証明
\( \sin{(k+2)\theta}+\sin{k\theta}
\\ = \sin{((k+1)\theta + \theta)}+\sin{((k+1)\theta-\theta)} \\ = \sin{(k+1)\theta} \cos{\theta}+\cos{(k+1)\theta}\sin{\theta} + \sin{(k+1)\theta}\cos{\theta} - \cos{(k+1)\theta}\sin{\theta} \\ = 2\sin{(k+1)\theta}\cos{\theta} \)
（和積の公式を知っていれば途中式を飛ばして一気に左辺＝右辺が得られる。）これを移項すると(*)が得られる。

もちろん偶数のとき，奇数のときで場合分けして示してもいいです。ちなみにfの性質（sinのn倍角の公式になっていること）を利用しsinやcosを代入して考える解法は少し注意がいります。
別解（要注意）
x=cosθとすると
\( f_n(-x)=f_n(-\cos{\theta})=f_n(\cos{(\pi-\theta)}) \)
ここで
\( f_n(\cos{(\pi-\theta)}) \sin{(\pi-\theta)}=\sin{(n(\pi-\theta))}\\ = \sin{n\pi}\cos{n\theta}-\cos{n\pi}\sin{n\theta} \\ = (-1)^{n+1}\sin{n\theta} \)
であることと
\( f_n(\cos{\theta})\sin{\theta}=\sin{n\theta} \)
を使うと
\( f_n(-\cos{\theta})=(-1)^{n+1} \frac{\sin{n\theta}}{\sin{\theta}}=(-1)^{n+1} f_n(\cos{\theta}) \)
となるので-1<x<1のとき(**)が成立。
\( f_n(x) \)はn-1次多項式であり，-1<x<1を満たす異なるn個の実数で(**)が成立するから一致の定理よりすべての実数で(**)が成立する。

一致の定理については下に補足しています。

(2)の別解や(3)のようにsinやcosを代入する場合は-1から1までの範囲でしか証明できないことを意識しましょう。しかしだからといってその範囲外の場合に全く別の解法を使うのではなく一致の定理というのを使います。あまり使わない定理ですが，難関大学ではたまに使わされるので難関大受験者は見ておきたいところです。