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上野竜生です。今回は円周上の点と直線の最短距離と最長距離を調べる方法を紹介します。三角関数を知っているとその方法でも解けますよ。
例題
A(4,0),B(0,5)と，円\( x^2+y^2=4 \)上の点Pについて△ABPの面積の最大値と最小値を求めよ。
答え\( AB=\sqrt{41} \)
円の中心O(0,0)から直線ABにひいた垂線の足をQとする。
OQは点(0,0)と直線AB:5x+4y-20=0の距離だから
\(\displaystyle OQ=\frac{|0+0-20|}{\sqrt{4^2+5^2}}=\frac{20}{\sqrt{41}} \)
ABを底辺とみるとABが一定だから高さが最大/最小のとき面積も最大/最小である。
このときのPは直線OQと円の交点である。OP=2なので
最大値は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{41}(\frac{20}{\sqrt{41}}+2)=10+\sqrt{41} \)
最小値は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{41}(\frac{20}{\sqrt{41}}-2)=10-\sqrt{41} \)
円の中心O(0,0)から直線ABにひいた垂線の足をQとする。
OQは点(0,0)と直線AB:5x+4y-20=0の距離だから
\(\displaystyle OQ=\frac{|0+0-20|}{\sqrt{4^2+5^2}}=\frac{20}{\sqrt{41}} \)
ABを底辺とみるとABが一定だから高さが最大/最小のとき面積も最大/最小である。
このときのPは直線OQと円の交点である。OP=2なので
最大値は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{41}(\frac{20}{\sqrt{41}}+2)=10+\sqrt{41} \)
最小値は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{41}(\frac{20}{\sqrt{41}}-2)=10-\sqrt{41} \)
＜別解＞
答えP(2cosθ,2sinθ)とおく。
Aが原点になるようにB,Pを平行移動させ，B’,P’とすると
B’(-4,5),P’(2cosθ-4,2sinθ)
よって△ABP=△OB’P’の面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2}|5(2\cos{\theta}-4)-(-4)\cdot 2\sin{\theta}|\\ = |5\cos{\theta}+4\sin{\theta}-10|\\ =10-\sqrt{41}\sin{(\theta+\alpha)} \)
\( -1\leq \sin{(\theta+\alpha)} \leq 1\)なので
\( 10-\sqrt{41}\leq △OAB \leq 10+\sqrt{41} \)
どちらも等号成立するので最大値は\(10+\sqrt{41} \),最小値は\( 10-\sqrt{41} \)
Aが原点になるようにB,Pを平行移動させ，B’,P’とすると
B’(-4,5),P’(2cosθ-4,2sinθ)
よって△ABP=△OB’P’の面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2}|5(2\cos{\theta}-4)-(-4)\cdot 2\sin{\theta}|\\ = |5\cos{\theta}+4\sin{\theta}-10|\\ =10-\sqrt{41}\sin{(\theta+\alpha)} \)
\( -1\leq \sin{(\theta+\alpha)} \leq 1\)なので
\( 10-\sqrt{41}\leq △OAB \leq 10+\sqrt{41} \)
どちらも等号成立するので最大値は\(10+\sqrt{41} \),最小値は\( 10-\sqrt{41} \)
このように２通りの解き方があり，どちらもいい練習なので両方の解法でできるほうが望ましいです。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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