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上野竜生です。sin18°,cos36°は数IIで3倍角の公式まで習うとできますが，数Iの範囲でもうまい図形をかくと求めることができます。かなり有名なのでノーヒントで導き出せるようにしたい問題です。
有名問題
次の図において三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形であり，AD=DB=BC=1とする。
(1)∠Aを求めよ。
(2)ABを求めよ。
(3)sin18°とcos36°を求めよ。
(1)∠Aを求めよ。
(2)ABを求めよ。
(3)sin18°とcos36°を求めよ。
答え(1)∠A=aとおく。△ADBはAD=DBの二等辺三角形だから∠ABD=a
つまり∠BDC=∠BAD+∠ABD=2a
△BCDは二等辺三角形だから∠DCB=2a
さらに△ABCが二等辺三角形だから∠ABC=2a
つまり△ABCの内角の和は
∠BAC+∠ABC+∠ACB=5a=180°
∴a=36°
(2)∠ABC=2a,∠ABD=aなので∠DBC=aである。つまり
△ABC∽△BCDであるからAB:BC=BC:CD
AB=xとするとx:1=1:(x-1)
よって\( x(x-1)=1 \)
\( x^2-x-1=0 \)となるから
\(\displaystyle x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
x>0だから\( \displaystyle AB=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)
(3)BからCDにおろした垂線の足をEとする。△DBEに着目すると
\(\displaystyle \sin{18°}=\frac{DE}{BD}=\frac{x-1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \)
DからABにおろした垂線の足をFとする。△ADFに着目すると
\(\displaystyle \cos{36°}=\frac{AF}{AD}=\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{4} \)
つまり∠BDC=∠BAD+∠ABD=2a
△BCDは二等辺三角形だから∠DCB=2a
さらに△ABCが二等辺三角形だから∠ABC=2a
つまり△ABCの内角の和は
∠BAC+∠ABC+∠ACB=5a=180°
∴a=36°
(2)∠ABC=2a,∠ABD=aなので∠DBC=aである。つまり
△ABC∽△BCDであるからAB:BC=BC:CD
AB=xとするとx:1=1:(x-1)
よって\( x(x-1)=1 \)
\( x^2-x-1=0 \)となるから
\(\displaystyle x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
x>0だから\( \displaystyle AB=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)
(3)BからCDにおろした垂線の足をEとする。△DBEに着目すると
\(\displaystyle \sin{18°}=\frac{DE}{BD}=\frac{x-1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \)
DからABにおろした垂線の足をFとする。△ADFに着目すると
\(\displaystyle \cos{36°}=\frac{AF}{AD}=\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{4} \)
この図は割と有名です。たまにcos36°の値があれば便利な問題も見かけるので誘導なしで導けるようにしたいところです。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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