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上野竜生です。今回は三角形の内接円と外接円の半径の求め方を整理します。どちらもすでに習ったような基本事項ですが内接円と外接円がごちゃまぜにならないように一度整理しておきましょう。
例題
三角形ABCにおいてAB=4,BC=5,CA=6とする。
(1)三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
(2)三角形ABCの内接円の半径を求めよ。
(1)三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
(2)三角形ABCの内接円の半径を求めよ。
内接円と外接円の求め方がゴチャゴチャにならないように整理しましょう
POINT外接円は正弦定理。内接円は面積を2通りで表す。
どちらも三角比を使うので混同しやすいですが，これを間違うと大幅失点になります。
答え(1)余弦定理より
\(\displaystyle \cos{A}=\frac{4^2+6^2-5^2}{2\cdot 4 \cdot 6}=\frac{27}{48}=\frac{9}{16} \)
\(\displaystyle \sin{A}=\sqrt{1-(\frac{9}{16})^2 } = \frac{5\sqrt{7}}{16} \)
（∵0°＜A＜180°よりsinA>0)
正弦定理より，外接円の半径をRとすると
\(\displaystyle 2R=\frac{5}{\sin{A}} = \frac{16}{\sqrt{7}} \)
∴\(\displaystyle R=\frac{8}{\sqrt{7}}=\frac{8\sqrt{7}}{7} \)
(2)三角形ABCの面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 6 \sin{A}=\frac{15\sqrt{7} }{4} \)
内心をIとして，内接円の半径をrとすると
△ABC=△ABI+△BCI+△CAI
\(\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4} = \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot r + \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot r + \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot r = \frac{15}{2}r \)
∴\(\displaystyle r=\frac{\sqrt{7}}{2} \)
\(\displaystyle \cos{A}=\frac{4^2+6^2-5^2}{2\cdot 4 \cdot 6}=\frac{27}{48}=\frac{9}{16} \)
\(\displaystyle \sin{A}=\sqrt{1-(\frac{9}{16})^2 } = \frac{5\sqrt{7}}{16} \)
（∵0°＜A＜180°よりsinA>0)
正弦定理より，外接円の半径をRとすると
\(\displaystyle 2R=\frac{5}{\sin{A}} = \frac{16}{\sqrt{7}} \)
∴\(\displaystyle R=\frac{8}{\sqrt{7}}=\frac{8\sqrt{7}}{7} \)
(2)三角形ABCの面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 6 \sin{A}=\frac{15\sqrt{7} }{4} \)
内心をIとして，内接円の半径をrとすると
△ABC=△ABI+△BCI+△CAI
\(\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4} = \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot r + \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot r + \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot r = \frac{15}{2}r \)
∴\(\displaystyle r=\frac{\sqrt{7}}{2} \)
とくに新しいことはありませんが間違えやすいのでまとめておきました。内接円の半径は初見だとひらめき要素が強めですが，もはや内接円も外接円も公式のような求め方があるので，求め方を頭に入れておいてひらめきとか関係なく求められるようにしましょう。
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