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上野竜生です。△ABCにおいて三角比を含んだ条件式が与えられたときに,それがどのような三角形なのかを求める問題を紹介します。基本的にはsin,cosは邪魔なので辺の長さa,b,cで表すことがコツです。

ポイント

POINT正弦定理・余弦定理を使って三角比の部分を辺の長さの条件式に書き換える

正弦定理より外接円の半径をRとすると
\(\displaystyle \sin{A}=\frac{a}{2R} , \sin{B}=\frac{b}{2R} , \sin{C}=\frac{c}{2R} \)
余弦定理より
\(\displaystyle \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} , \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} , \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \)

これらを用いると辺の長さa,b,cだけで表せることが多いです。(外接円の半径Rは式変形の途中で消えることが多い)

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例題

△ABCにおいてa=BC,b=CA,c=ABとするとき,次の条件を満たす三角形はどのような三角形か?
(1)asinA=bsinB
(2)acosA=bcosB
答え(1)正弦定理より外接円の半径をRとすると
\(\displaystyle \sin{A}=\frac{a}{2R} , \sin{B}=\frac{b}{2R} \)
なので
\(\displaystyle \frac{a^2}{2R}=\frac{b^2}{2R} \)
a>0,b>0よりa=b
よってBC=CAの二等辺三角形

※どの辺とどの辺が等しいのかまでわかるときはそこまで述べましょう。AB=BCの二等辺三角形などの可能性がないのなら単に「二等辺三角形」という解答では不正確です。

答え(2) 余弦定理より
\(\displaystyle \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} , \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
なので
\(\displaystyle \frac{a(b^2+c^2-a^2)}{2bc} =\frac{b(c^2+a^2-b^2)}{2ca}\)
両辺を2abc倍すると
\( a^2(b^2+c^2-a^2)=b^2(c^2+a^2-b^2) \)
\( a^2 c^2 -a^4=b^2 c^2 -b^4 \)
\( (a^2+b^2)(a^2-b^2) -c^2 (a^2-b^2) =0 \)
\( (a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2)=0 \)
よって∠C=90°の直角三角形またはBC=CAの二等辺三角形

これ以外のパターンもa,b,cの条件にした後の式の整理や因数分解が大変なだけで方針は同じです。出題頻度もそれほど高くないのでここは基本パターンだけ軽くできれば十分でしょう。

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