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上野竜生です。今回は三角比の対称式を扱います。三角関数には相互法則があるので1つの式(sinθ+cosθの値)がわかるだけでsinθcosθが導け,そこからすべての対称式の値がわかります。

例題

\(\displaystyle \sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{3}{4} (0<\theta < 180°) \)のとき,次の値を求めよ。
(1)\(\sin{\theta}\cos{\theta} \)
(2)\( \sin^3{\theta}+\cos^3{\theta} \)
(3)\(\sin{\theta}-\cos{\theta} \)
(4)\(\sin{\theta} \)
(5)\(\displaystyle \tan{\theta}+\frac{1}{\tan{\theta}} \)
答え(1)与えられた式の両辺を2乗する
\(\displaystyle \sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta} = \frac{9}{16} \)
\(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1 \)なので
\(2\sin{\theta}\cos{\theta}=-\frac{7}{16} \)
つまり\(\sin{\theta}\cos{\theta}=-\frac{7}{32} \)
(2)
\(\sin^3{\theta}+\cos^3{\theta}\\=(\sin{\theta}+\cos{\theta})^3-3\sin{\theta}\cos{\theta}(\sin{\theta}+\cos{\theta})\\ = \displaystyle (\frac{3}{4})^3 -3(-\frac{7}{32})\frac{3}{4} \\ = \displaystyle \frac{27}{64}+\frac{63}{128}=\frac{117}{128} \)
通常,対称式の問題はx+yとxyがわかればすべての対称式の値がわかるといった感じですが,今回のような場合,sinθ+cosθだけわかればsinθcosθもわかるのですべての対称式がわかります。さらにこのあとの問題でもわかりますがsinθ,cosθの値がそれぞれ求まります(±だけはどうしても残るのでそこの議論は必要)
答え(3)いきなりsinθ-cosθを求めるのは難しいので2乗したものを求めます。
\(\displaystyle (\sin{\theta}-\cos{\theta})^2=1-2\sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{23}{16} \)
∴\(\displaystyle \sin{\theta}-\cos{\theta}=\pm \frac{\sqrt{23}}{4} \)
0°<θ<180°よりsinθ>0
(1)の結果よりcosθ<0
よってsinθ-cosθ>0となる。
∴\(\displaystyle \sin{\theta}-\cos{\theta}= \frac{\sqrt{23}}{4} \)
(4)
\(\displaystyle \sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{3}{4} \)と
\(\displaystyle \sin{\theta}-\cos{\theta}= \frac{\sqrt{23}}{4} \)
の辺々を足して2で割ると
\(\displaystyle \sin{\theta}=\frac{3+\sqrt{23}}{8} \)(5)\(\displaystyle \tan{\theta}+\frac{1}{\tan{\theta}}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}+\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\\ \displaystyle =\frac{\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}}{\sin{\theta}\cos{\theta}}=\frac{1}{-\frac{7}{32}} \\ \displaystyle =-\frac{32}{7}\)

範囲の制限をよく考えて±の部分が+なのかーなのか調べましょう。全体的に今回扱った考え方は数IIの三角関数でt=sinx+cosxとおいて最大・最小を求めるときとかにも出てくるのでそこまで頭の片隅に残しておきましょう。

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