（放物線・円と直線の交点の）中点の軌跡｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。今回は中点の軌跡を紹介します。放物線と直線の2つの交点の中点と，円と直線の2つの交点の中点です。放物線は標準ですが，円の方は少し難しいかもしれません。頑張って解いてみましょう。

例題１

放物線$ y=x^2$と直線$ y=kx+k $が異なる2点でまじわるとき，その2点の中点の軌跡を求めよ。

答え$ x^2=kx+k $，つまり$x^2-kx-k=0 $の判別式をDとすると異なる2点で交わるから
$ D=k^2+ 4k>0 $
k<-4またはk>0・・・①
交点のx座標を$\alpha,\beta $とすると解と係数の関係より
$ \alpha+\beta=k $
$放物線の中点の軌跡$
交点を(X,Y)とおくと
$\displaystyle X=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{k}{2} $・・・②
$\displaystyle Y=kX+k=\frac{k^2}{2}+k $・・・③
②よりk=2Xとなるので③に代入すると
$ Y=2X^2+2X $
①②よりX<-2,X>0なので求める軌跡は
放物線$ y=2x^2+2x $のx<-2,x>0の部分。

例題２

円$ (x-4)^2+y^2=4 $と直線y=kxが異なる2点でまじわるとき，その2点の中点の軌跡を求めよ。

答え直線の式を円の式に代入すると交点のx座標は
$ x^2-8x+16+k^2 x^2=4 $，つまり
$ (k^2+1)x^2-8x+12=0 $の解である。この判別式をDとすると
$ D/4=16-12-12k^2 >0 $
$\displaystyle k^2<\frac{1}{3} $
∴$\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{3} < k<\frac{\sqrt{3}}{3} $
交点のx座標を$\alpha,\beta $とすると解と係数の関係より
$ \alpha+\beta=\frac{8}{1+k^2} $
$円と直線の交点の中点の軌跡$
交点を(X,Y)とおくと
$\displaystyle X=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{4}{1+k^2} $・・・①
$\displaystyle Y=kX=\frac{4k}{1+k^2} $・・・②
①②より$\displaystyle k=\frac{Y}{X} $を①に代入すると
$\displaystyle X(1+k^2)=X(1+\frac{Y^2}{X^2})=4 $
よって$ X^2+Y^2=4X $
つまり$ (X-2)^2+Y^2=4 $
また，kの範囲$ \displaystyle 0 \leq k^2 < \frac{1}{3} $を①に代入すると
3<X≦4。
以上より求める軌跡は
円$ (x-2)^2+y^2=4 $の3<x≦4の部分。

どちらも中点を(X,Y)とおいてX,Yをkの式で表した後，kを消去します。例題２のほうはkの消去の仕方に工夫がいる問題です。また，どちらもkの範囲からXの範囲を絞り込まないといけないので完答するのは慣れがいるでしょう。

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学>