3点を通る放物線の式を求める裏技
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上野竜生です。今回は3点の座標が与えられたとき，その3点を通る放物線の方程式を求める裏技を紹介します。普通の解法で解くのが基本ですが，知っていると役に立つこともあるかもしれません。 問題 点(1,-2),(3,5),(- […]
2次試験対策
完全順列の漸化式・一般項・極限
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上野竜生です。今回は完全順列の漸化式・一般項・極限を扱います。漸化式の導出も，ひらめきにくいアイデアが必要となり，答えを読んで理解するのも大変です。基本はn=5ぐらいまでで導出できればいいですが，一般の漸化式までは入試で […]
正十二角形の3点を結んでできる三角形の個数（種類別）
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上野竜生です。正n角形のn個の頂点の中から3つの点を結んでできる三角形の個数についての問題は私立大学でたまに見かけます。頻出の十二角形の場合で徹底的に調べておきます。 問題 正十二角形A1A2A3・・・A1 […]
x+y+z=nとなる自然数の個数
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上野竜生です。今回はx+y+z=nとなる自然数や非負整数の組の個数について紹介します。やることは組み合わせ計算ですが，問題の言い換えがかなり独特で，一度経験しないとひらめかないと思うので1度見ておきましょう。 問題 (1 […]
立体の色の塗り分け方は何通り？
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上野竜生です。今回は立体の色の塗り分け方が何通りあるか紹介します。基本的には回転して同じになるかどうかを意識するのが重要で，普通の順列をつかうのか円順列を使うのかしっかり見極めましょう。 例題１ 立方体の6面に色を塗る。 […]
2021同志社大学理系大問4（良問）
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上野竜生です。今回のやや難問だけど良問は同志社大学理系の全学部のIV(2021年)です。問題文がやや長く，YouTuberはあまりピックアップして動画化しにくい題材ですが，大学の数学の本質を体験できる問題で，教授はこうい […]
四面体の性質の証明5選
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上野竜生です。今回は四面体の証明に関する問題を５つ集めました。基本～超難問までそろっていて，ここにある問題を学習すれば類題も同様に証明できるようになります。 例題１ 垂直条件に関する性質 四面体OABCについて次の性質ア […]
直線や平面とのなす角の求め方
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上野竜生です。今回は直線や平面とのなす角を計算します。前提として２つのベクトルのなす角は求められているとしますが，念のために復習しておきます。 復習 ２つのベクトルのなす角 空間ベクトル\(\vec{a},\vec{b} […]
法線ベクトルと平面の方程式
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上野竜生です。今回は平面の方程式と法線ベクトルを扱います。法線ベクトルは教科書ではあまり出てこないですが私立大学受験生は知っておきたい内容です。 平面の方程式の導き方 点H(p,q,r)を通りベクトル\(\vec{A}= […]
平面束・kによらず通る定直線
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上野竜生です。今回は平面束に関する問題を扱います。数IIで２つの円の交点を通る直線を求める時にf(x,y)+kg(x,y)と表したあの感覚を平面でもやるだけです。 ポイント 2つの平面f(x,y,z)=0,g(x,y,z […]
球の接平面の方程式の求め方
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上野竜生です。今回は球の接平面の公式の導出と具体例を扱います。公式はキレイな形をしていますが，利用頻度は高くないので毎回導出することをオススメします。 球の接平面の式 中心をA(a,b,c)とする半径rの球 […]
ベクトルの関係式が与えられたときの軌跡の求め方
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上野竜生です。今回はベクトルの関係式が与えられたときの軌跡の求め方を紹介します。ベクトル方程式まで求めた後それが何の図形を表すかを答えるにはある程度の知識があるほうがいいです。しかし過去問を検索しましたがあまり出題されて […]
正五角形に関するベクトルの問題
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上野竜生です。今回はベクトルを用いた正五角形の問題です。この形で問う方が美しいと思います。正五角形の対角線の長さの求め方は平面図形ですでに学習済みだと思うのでベクトルを用いなくても解けるようになっているのが望ましいです。 […]