ベクトルから三角形の形状を求める問題
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上野竜生です。今回はベクトルの関係式が与えられたとき三角形がどのような形状かを求めます。大体は角度が90°か同じ長さの辺になるかを求めます。 例題１ \(\vec{AB}\cdot \vec{AC}=\vec{AC}\c […]
2次試験対策
垂心のベクトル
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上野竜生です。今回は垂心の位置ベクトルを求めます。垂心はその性質通り垂直条件から求めます。最後に一般の場合の結果も紹介します。 問題 三角形ABCにおいてAB=5 , BC=7 , CA=8 とし、三角形ABCの垂心をH […]
外心のベクトル
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上野竜生です。今回は外心の位置ベクトルを求めます。外心は垂直二等分線の性質から求めてもいいですし外接円の半径が同じ(AO=BO=CO)から求めてもいいです。最後に一般の場合の結果も紹介します。 問題 三角形ABCにおいて […]
内心のベクトル
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上野竜生です。今回は内心の位置ベクトルを求めます。内心は比較的簡単に求まるのでここで空間ベクトルでも求められるようにしておきます。 例題１ 三角形ABCにおいてAB=c , BC=a , CA=b とし、三角形ABCの内 […]
直線・円・平面で最大いくつの領域に分割されるか？
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上野竜生です。今回は直線や円などで平面がいくつの領域に分割されるかを扱います。考え方を理解しないと初見ではほぼ不可能です。2019東工大で超難問が出題されたので空間の場合の考え方まで紹介します。一度見ておかないと入試で出 […]
1次分数型の漸化式の解法
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上野竜生です。\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{aa_n+b}{ca_n+d} \)の形を1次分数型の漸化式と呼ぶことにします。出題頻度はあまり高くありませんがこの形の解法を紹介します。c=0の […]
異なる2つの数の積の和
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上野竜生です。異なる2つの数をとってきたときの積の和を計算する問題を紹介します。かなりの応用で、滅多に出ませんが解法が美しいので一度見たら忘れられないと思います。 例題１ 1からnまでの中から異なる2つの整数i,j(i＜ […]
等差×等比の和と2乗×等比の和の計算
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上野竜生です。Σ計算の厄介な問題に「等差×等比数列の和」の形をしたものがあります。ちなみにn乗×等比数列の和も同様に求められますが計算量的にn=2が出たらかなり鬼畜で，n≧3はもう手計算では出せないといっても過言ではない […]
複利計算は等比数列の知識を利用せよ
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上野竜生です。通常大学入試では「複利計算」を題材に扱うことはないとおもいますが，私立大学の特に経済学部では出題されることもあります。そこで複利計算に関する解き方を紹介します。なお国公立大学のみを目指す人は(多分出ないので […]
私立大学入試予想問題（難問編）
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上野竜生です。私立大学入試の模擬試験を作りました。挑戦してくれた人には模範解答もつけています。 解答上の注意 ・紙と鉛筆を持って本格的に解くことを想定しています。 ・自動採点に入力する際に操作ミスで入力途中のデータが消え […]
私立大学入試予想問題（標準編）
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上野竜生です。私立大学入試の模擬試験を作りました。挑戦してくれた人には模範解答もつけています。 解答上の注意 ・紙と鉛筆を持って本格的に解くことを想定しています。 ・自動採点に入力する際に操作ミスで入力途中のデータが消え […]
数III分数関数など 定期試験対策(模擬試験)
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上野竜生です。数IIIの「分数関数」などの章末問題として定期試験対策の模擬試験を作りました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれるので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には模範解答もつけています […]
数III積分 定期試験対策(模擬試験)
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上野竜生です。数IIIの「積分」の章末問題として定期試験対策の模擬試験を作りました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれるので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には模範解答もつけています。 解答 […]