多項式が(x-a)^2で割り切れる条件
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上野竜生です。今回は多項式が(x-a)2で割り切れる条件を考えます。ただし，これの説明には数IIIで習う積の微分を使います。 積の微分 f(x)g(x)をxで微分するとf'(x)g(x)+f(x)g'(x) これは厳密に […]
2次試験対策
2次関数の応用（分数関数の値域）
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上野竜生です。今回は2次関数の応用で分母または分子が2次式の分数関数の値域を求める問題を紹介します。数IIIの微分ができれば（≒数IIIまで使う理系の人）その方が簡単なのでこのページは不要です。微分せずに解くのはかなり複 […]
常に成り立つ2次不等式の条件
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上野竜生です。今回は二次不等式が常に成り立つ条件を考えます。実数全体は比較的楽ですが，ある一部の区間で成り立つ場合や2変数の場合も紹介します。だんだん難しくなりますので少しずつ理解しましょう。 例題１ すべての実数xに対 […]
整数係数方程式の整数解
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上野竜生です。整数係数方程式の整数解に関する問題を扱います。整数分野にしてますが数Bの数学的帰納法や数学系大学のアイゼンシュタインの既約判定法を扱っているのでかなり難易度は高いです。超難関大学・特色入試を受ける人は全部理 […]
整数からなる数列の漸化式(余り)
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上野竜生です。漸化式で余りに着目するタイプの問題を扱います。注意することはたとえそれが一般項を求められるタイプの漸化式であったとしても求めないほうがエレガントであるということです。なお，漸化式は数Bで習うのでまだ習ってな […]
不定方程式 応用問題
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上野竜生です。今回は不定方程式の応用問題に挑戦してみましょう。どれも難問ですが基本は無理やり因数分解することと工夫して候補を絞り込むことです。 例題１ (1)x3+xy2+2xy-6=0を満たす整数(x,y)の組をすべて […]
3点を通る円の方程式
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上野竜生です。今回は3点を通る円の方程式を求める裏技を紹介します。基本的な解法と，裏技２つを紹介します。 問題 3点(1,3),(4,2),(-3,1)を通る円の方程式を求めよ。 解答１ 普通の解き方 答え求める円の方程 […]
3点を通る放物線の式を求める裏技
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上野竜生です。今回は3点の座標が与えられたとき，その3点を通る放物線の方程式を求める裏技を紹介します。普通の解法で解くのが基本ですが，知っていると役に立つこともあるかもしれません。 問題 点(1,-2),(3,5),(- […]
完全順列の漸化式・一般項・極限
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上野竜生です。今回は完全順列の漸化式・一般項・極限を扱います。漸化式の導出も，ひらめきにくいアイデアが必要となり，答えを読んで理解するのも大変です。基本はn=5ぐらいまでで導出できればいいですが，一般の漸化式までは入試で […]
正十二角形の3点を結んでできる三角形の個数（種類別）
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上野竜生です。正n角形のn個の頂点の中から3つの点を結んでできる三角形の個数についての問題は私立大学でたまに見かけます。頻出の十二角形の場合で徹底的に調べておきます。 問題 正十二角形A1A2A3・・・A1 […]
x+y+z=nとなる自然数の個数
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上野竜生です。今回はx+y+z=nとなる自然数や非負整数の組の個数について紹介します。やることは組み合わせ計算ですが，問題の言い換えがかなり独特で，一度経験しないとひらめかないと思うので1度見ておきましょう。 問題 (1 […]
立体の色の塗り分け方は何通り？
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上野竜生です。今回は立体の色の塗り分け方が何通りあるか紹介します。基本的には回転して同じになるかどうかを意識するのが重要で，普通の順列をつかうのか円順列を使うのかしっかり見極めましょう。 例題１ 立方体の6面に色を塗る。 […]
2021同志社大学理系大問4（良問）
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上野竜生です。今回のやや難問だけど良問は同志社大学理系の全学部のIV(2021年)です。問題文がやや長く，YouTuberはあまりピックアップして動画化しにくい題材ですが，大学の数学の本質を体験できる問題で，教授はこうい […]