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上野竜生です。今回は3点の座標が与えられたとき,その3点を通る放物線の方程式を求める裏技を紹介します。普通の解法で解くのが基本ですが,知っていると役に立つこともあるかもしれません。

問題

点(1,-2),(3,5),(-2,-5)を通る放物線の方程式を求めよ。

解法1 普通の解き方

答え求める放物線を\( y=ax^2+bx+c \)とおく。3点を通るから

\( -2=a+b+c , 5=9a+3b+c , -5=4a-2b+c \)

これを解くと
\( \displaystyle a=\frac{1}{2}, b=\frac{3}{2} , c=-4 \)
よって\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x -4 \)

「これを解くと」でサラっと済ませてますがここの計算が意外と面倒です。
第2式-第1式より7=8a+2b・・・①
第3式-第1式より-3=3a-3b
よってa=b-1が得られるから①に代入すると
8b-8+2b=7 ∴\( b=\frac{3}{2} \)
これをa=b-1に代入すると\( a=\frac{1}{2} \)
これらを第1式に代入するとc=-4

3変数の連立方程式を解くのって意外と面倒です。それを避ける裏技を紹介します。しかし出題頻度も低く,採点者が知らないとかえって減点リスクも上がるのでとりあえず解法1をオススメしておきます。裏技の考えを知りたい方はそのまま次の解法2・3をご覧ください。

解法2 2点を通る2次関数の一般式を素早くもとめて1変数の式にする

<発想>
A(a,b),B(c,d),C(e,f)を通る放物線の式を求めたい。直線ABの式をy=g(x)とおく。もちろんg(x)は高々1次関数である。
y=k(x-a)(x-c)とおくとこれは(a,0),(c,0)を通る。
y=k(x-a)(x-c)+g(x)とおくと(a,b)(c,d)を通る。(∵g(x)はABの式だからg(a)=b, g(c)=d )
よってA,Bを通る2次関数は上のように表せるから最後に(e,f)を通るという条件からkを求める。
ところどころ計算量ありますが3変数連立方程式に比べると少し楽かもしれません。

答えABの式を\(\displaystyle y=g(x)=\frac{7}{2}x-\frac{11}{2} \)とおく。
\( y=k(x-1)(x-3) +g(x) \)とおくとこれはA,Bを通る2次関数である。
これが(-2,-5)を通るから
\( -5= 15k+ (-7-\frac{11}{2} ) \)
よって\( k=\frac{1}{2} \)を代入すると

\[ y=\frac{1}{2}(x-1)(x-3)+\frac{7}{2}x-\frac{11}{2} = \frac{1}{2}x^2 +\frac{3}{2}x -4 \]

解法3 一発の式で解く

<発想>
A(a,b),B(c,d),C(e,f)を通る放物線の式を求めたい。
(x-c)(x-e)はxの2次関数で点B,Cのx座標を代入すると0になる。
\(\displaystyle \frac{(x-c)(x-e)}{(a-c)(a-e)} \)はB,Cの座標を代入すると0になり,Aの座標を代入すると1になる。これをb倍すればAの座標を代入すればbになり,B,Cの座標を代入すれば0になる。同様に考えてその和を考える。

\[ \displaystyle y=b\cdot \frac{(x-c)(x-e)}{(a-c)(a-e)} + d\cdot \frac{(x-a)(x-e)}{(c-a)(c-e)} + f\cdot \frac{(x-a)(x-c)}{(e-a)(e-c)} \]

これはxの2次関数である。第1項はaを代入するとbに,c,eを代入すると0になる。
第2項はcを代入するとdに,a,eを代入すると0になる。
第3項はeを代入するとfに,a,cを代入すると0になる。
ということは3つ足したものは
aを代入するとb,cを代入するとd,eを代入するとfになるからこれが求める2次関数である。

答え実際に代入すると

\[ y=-2 \frac{(x-3)(x+2)}{(1-3)(1+2)} + 5\cdot \frac{(x-1)(x+2)}{(3-1)(3+2)} -5 \cdot \frac{(x-1)(x-3)}{(-2-1)(-2-3)} \\ = \frac{1}{3}(x^2-x-6) + \frac{1}{2}(x^2+x-2)-\frac{1}{3}(x^2-4x+3) \\ = \frac{1}{2}x^2 +\frac{3}{2}x -4 \]

裏技好きな人のためのページとして裏技的解法を2つ紹介していますが,実用的には解法1でしょう。

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