x,yの2次式が因数分解できる条件

答え\( 3x^2+4xy-4y^2+10x-4y+k \\ = 3x^2+2(2y+5)x+(-4y^2-4y+k)=0 \)
の解を解の公式で求めると
\(\displaystyle x=\frac{-(2y+5) \pm \sqrt{(2y+5)^2 - 3(-4y^2-4y+k)}}{3} \)
√の中が平方式になることである。
√の中を計算すると
\( 4y^2+20y+25 +12y^2+12y-3k = 16y^2+32y+(25-3k) \)
これが平方式になるとき，これの判別式が0になる。
よって\( 32^2 - 4\cdot 16 \cdot (25-3k)=1024-64(25-3k)=0 \)
両辺を64で割ると\( 16-25+3k=0 \)　∴k=3
k=3のとき最初の式の√の中は
\( 16y^2 +32y+16= (4y+4)^2 \)
これを解の公式に当てはめると
\(\displaystyle x=\frac{-(2y+5) \pm (4y+4)}{3} \)
つまり，\(\displaystyle x=-2y-3 , \frac{2y-1}{3} \)となるから\( x^2\)の係数が3であることに注意すると
\(\displaystyle 3(x+2y+3)(x-\frac{2y-1}{3} ) = (x+2y+3)(3x-2y+1) \)
と因数分解できる。

答え\( 3x^2+4xy-4y^2=(x+2y)(3x-2y) \)なのでもし因数分解できるなら
\( (x+2y+a)(3x-2y+b) \)となる。これを展開すると
\( (x+2y)(3x-2y) + a(3x-2y)+b(x+2y)+ab \\ = 3x^2+4xy-4y^2 + (3a+b)x+(-2a+2b)y+ab \)
となるから係数を比較して
3a+b=10 , -2a+2b=-4 , ab=k
これを解くとa=3,b=1 , k=3
となるからk=3で(x+2y+3)(3x-2y+1)と因数分解できる。

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