Author: 上野竜生
和と積から2次方程式をつくる
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上野竜生です。今回は与えられた解をもつ2次方程式の作成や，和と積が与えられたときの2つの値を求めることを行います。実数のときにもやっているかもしれませんが複素数解をもつときを扱っています。 解と係数の関係 実数解をもつと […]
2次方程式のiを用いた解の公式と判別式
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上野竜生です。今回は複素数まで習ったうえでの2次方程式の解の公式と判別式を紹介します。 2次方程式の解の公式 \( ax^2+bx+c=0 \)の解は \( \displaystyle x=\frac{-b \pm \s […]
複素数の導入と四則演算
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上野竜生です。今回は複素数の導入と四則演算・大小比較ができないことと複素数の等式を扱います。 iの定義 実数では2乗すると必ず0以上になるが，2乗して-1になる数をiとする。 もちろんiは実数ではない。iは数直線上にはな […]
今週の問題 問122 答え
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上野竜生です。問122の答えを発表します。 問122 ★ x,yを自然数とする。 (1)\(x^5-x \)は30の倍数であることを示せ。 (2)\( x^5 y - xy^5 \)は30の倍数であることを示せ。 [熊本 […]
今週の問題 問121 答え
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上野竜生です。問121の答えを発表します。 問121 ★ 以下の問に答えよ。必要に応じて \(2^{22}=4194304\)，特に\(2^{22}\)と\(2^2\)の下2ケタが一致することを利用してよい。 (1)\( […]
ローラン展開と留数
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上野竜生です。テイラー展開と同じような考えでローラン展開を定義します。その後，ローラン展開から留数を定義します。また，定義通り求める以外の方法による留数の計算方法を紹介します。 重要なのは最後の留数計算なのでローラン展 […]
複素積分（線積分のようなやり方で行うパターン）
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上野竜生です。今回は複素積分を扱います。置換積分や線積分の要領で求めるタイプのものです。留数を使ったメインの計算はここでは扱わず，基本となる積分を考えます。最終的に留数を使って計算するときも一部この考えを使うので，大学生 […]
正則関数とコーシーリーマンの関係式
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上野竜生です。今回は複素関数の正則関数とコーシーリーマンの関係式を扱います。大学の定期テストではメインとなる留数計算は絶対出るとして，この辺りからも1問ぐらい出題される印象です。正則であることの必要十分条件は探し出せばい […]
今週の問題 問120 答え
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上野竜生です。問120の答えを発表します。 問120 [数学オリンピック] ★ 三角形ABCの内部に点Pをとり、直線BPと辺ACの交点をQ, 直線CPと辺ABの交点をRとする。AR=RB=CPかつCQ=PQであるとき、∠ […]
2変数不等式の領域と命題
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上野竜生です。2変数不等式に関する命題の問題は，領域を図示するとわかりやすいことがあります。それを紹介します。 例題１ 実数x,yについて次の[ ]に入る言葉として適切なのを選べ。 \( x^2+y^2 \leq 4 \ […]
（放物線・円と直線の交点の）中点の軌跡
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上野竜生です。今回は中点の軌跡を紹介します。放物線と直線の2つの交点の中点と，円と直線の2つの交点の中点です。放物線は標準ですが，円の方は少し難しいかもしれません。頑張って解いてみましょう。 例題１ 放物線\( y=x^ […]
A,Bが定点。∠APBが一定の軌跡
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上野竜生です。角度が一定の軌跡を扱います。これは定石通りやるとしんどいので特殊な解法をします。滅多に出題されませんが高校範囲で求められるので見るだけでも見ておきましょう。 例題 A(1,0),B(-1,0)とする。次の軌 […]
円周上の点と直線の最長距離と最短距離
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上野竜生です。今回は円周上の点と直線の最短距離と最長距離を調べる方法を紹介します。三角関数を知っているとその方法でも解けますよ。 例題 A(4,0),B(0,5)と，円\( x^2+y^2=4 \)上の点Pについて△AB […]