上野竜生です。問120の答えを発表します。

問120 [数学オリンピック]

三角形ABCの内部に点Pをとり、直線BPと辺ACの交点をQ, 直線CPと辺ABの交点をRとする。AR=RB=CPかつCQ=PQであるとき、∠BRCの大きさを求めよ。

 

答え

問120の参考図1

メネラウスの定理より
\(\displaystyle \frac{RB}{AR}\cdot \frac{PQ}{BP} \cdot \frac{CA}{QC} =1 \)
仮定より
AR=RBかつCQ=PQなのでBP=ACである。
次に線分RC上にRD=CP・・・①となる位置に点Dをとる。

問120の参考図2

三角形QPCは二等辺三角形であることと対頂角は等しいから
∠BPR=∠QPC=∠QCP
よって△RPB≡△DCA
(∵2辺とその間の角が等しい。PR=CDについては①からPR=CR-CP=CR-RD=CDがいえる)
よってBR=ADもいえる。
これで△ARDは正三角形だとわかるので∠ARD=60°
以上より求める角度は120°。

 

 

 

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