上野竜生です。問121の答えを発表します。

問121

以下の問に答えよ。必要に応じて
\(2^{22}=4194304\),特に\(2^{22}\)と\(2^2\)の下2ケタが一致することを利用してよい。
(1)\(2^{123}\)の下2ケタを求めよ。
(2)\(122^{123}\)の下2ケタを求めよ。
(3)\( 121^{(122^{123})} \)の下3ケタを求めよ。

 

答え

(1)100を法とする剰余類で考える。
\( 2^{123}≡2^{22} \cdot 2^{22} \cdot 2^{22} \cdot 2^{22} \cdot 2^{22} \cdot 2^{13} \\ ≡2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^{13} \\ ≡2^{23}≡2\cdot 2^{22} \\ ≡ 2\cdot 2^{2} ≡8\)
よって100で割った余りが8だから下2ケタは08。
(2)\( (100+22)^{123} \)を二項定理で展開することにより下2ケタは\( 22^{123} \)の下2ケタと一致する。
\( 22^{123}=2^{123} \cdot 11^{123} \)
である。(1)より\(2^{123} \)の下2ケタは08。また
\( (10+1)^{123} \)を二項定理で計算すると下2ケタは31なので\( 22^{123}\)の下2ケタは48。
(3)\( 122^{123}=100m+48 \)とおくと
\( 121^{100m+48} =11^{200m+96} =(10+1)^{200m+96} \)
よって下3ケタは二項定理で展開したときの最後の3項だけで決まるので
\( {}_{200m+96}C_2 10^2 + (200m+96) 10 + 1 \)
の下3ケタに等しい。それぞれの項を計算すると
\( (100m+48)(200m+95)\cdot 100 + 2000m+960+1 \\ = 1000(2000m^2 +960m+950m+2m)+(48 \cdot 95 \cdot 100+961)\)
なので下3ケタは最後の( )の中の下3ケタと等しい。
48×95×100は1000の倍数なので,下3ケタは961。

 

 

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