上野竜生です。問122の答えを発表します。

問122

x,yを自然数とする。
(1)\(x^5-x \)は30の倍数であることを示せ。
(2)\( x^5 y - xy^5 \)は30の倍数であることを示せ。
[熊本大学]

 

答え

(1)\( x^5-x= x(x-1)(x+1)(x^2+1) \)
ここでx(x-1)(x+1)は連続3整数の積なので6の倍数。
さらに
\( x^5-x= x(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)+5x^3-5x \)
であり,x(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)は連続5整数の積だから5の倍数で,\( 5x^3-5x \)も5の倍数だから\( x^5-x \)は5の倍数。
以上より\( x^5-x \)は30の倍数である。

(2)\( x^5-x , y^5-y \)はともに30の倍数だから
\( x^5-x=30N , y^5-y=30M \)(N,Mは整数)とおける。つまり,
\( x^5=30N+x , y^5=30M+y \)だから
\( x^5 y - xy^5 = (30N+x)y-x(30M+y)=30(Ny-Mx) \)
となり,30の倍数。

 

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