上野竜生です。問125の答えを発表します。

問125

任意のa,b,cに対し,\(\displaystyle \int_{-1}^1 (a+bx+cx^2)f(x) dx=0\)となる最高次係数が1の3次式f(x)を求めよ。

 

答え

方針
\( f(x)=x^3+px^2+qx+r \)とおく。
①少なくともa=1,b=0,c=0のときに成立する必要があるからここから条件式を1つ導く。
②少なくともa=0,b=1,c=0のときに成立する必要があるからここから条件式を1つ導く。
③少なくともa=0,b=0,c=1のときに成立する必要があるからここから条件式を1つ導く。
④ ①②③を満たせばすべてのa,b,cで成立することを示す。
⑤ ①②③で導いた式を連立させてp,q,rを求めてf(x)を答える。

①\(\displaystyle \int_{-1}^1 x^3+px^2+qx+r dx \\ \displaystyle = \left[ \frac{1}{4}x^4+\frac{p}{3}x^3+\frac{q}{2}x^2 +rx \right]_{-1}^1 \\ \displaystyle =\frac{2}{3}p +2r =0 \)
よって p+3r=0
②\(\displaystyle \int_{-1}^1 x^4+px^3+qx^2+rx dx \\ \displaystyle = \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{p}{4}x^4+\frac{q}{3}x^3 +\frac{r}{2}x^2 \right]_{-1}^1 \\ \displaystyle =\frac{2}{5} +\frac{2}{3}q =0 \)
よって 3+5q=0
③\(\displaystyle \int_{-1}^1 x^5+px^4+qx^3+rx^2 dx \\ \displaystyle = \left[ \frac{1}{6}x^6+\frac{p}{5}x^5+\frac{q}{4}x^4 +\frac{r}{3}x^3 \right]_{-1}^1 \\ \displaystyle =\frac{2}{5}p +\frac{2}{3}r =0 \)
よって 3p+5r=0
④ ①②③を満たすとき
\(\displaystyle \int_{-1}^1 (a+bx+cx^2)f(x) dx \\ \displaystyle = a\int_{-1}^1 f(x) dx + b \int_{-1}^1 xf(x)dx + c \int_{-1}^1 x^2 f(x)dx \\ = a\cdot 0 + b\cdot 0 + c\cdot 0 =0 \)
なので①②③を満たせば十分。
⑤ ②より\( q=-\frac{3}{5} \)
①③よりp=r=0なので
\(\displaystyle f(x)=x^3-\frac{3}{5}x \)

 

 

 

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