上野竜生です。問123の答えを発表します。

問123

[数学オリンピック]

正三角形の内部に点Pがあり,Pから各辺に下した垂線の長さはそれぞれ1,2,3であるとする。この正三角形の一辺の長さを求めよ。

 

答え

正三角形ABCの1辺の長さをxとすると正三角形の面積は

\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \)

一方で正三角形を△PAB,△PBC,△PCAと分割し,AB,BC,CAを底辺とみると正三角形の面積は

\(\displaystyle \frac{1}{2}x(1+2+3)=3x \)

これが等しいから

\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 =3x \)

x≠0より\( x=4\sqrt{3} \)

 

 

 

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