今週の問題 問108 答え
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上野竜生です。問108の答えを発表します。 問108 ★ [数学オリンピック 2019] AB>ACをみたす三角形ABCの内心をIとし，辺AB,ACを1:8に内分する点をそれぞれD,Eとする。三角形DIEが一辺の長 […]
Author: 上野竜生
不定積分の定義・計算・定積分の計算・性質
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上野竜生です。今回は微分まで終えていることを前提に積分に入っていきます。ざっくりいうと微分の反対が積分です。 積分とは 微分の反対の計算を積分という。 たとえばf(x)の微分がf'(x)ならf'(x)の積分はf(x)とい […]
指数・対数・三角関数の最大最小（数II）
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上野竜生です。今回は指数関数・対数関数・三角関数の最大最小問題のうち，多項式の微分の形にもってこれるものを集めました。一見指数関数の問題や三角関数の問題に見えても結局3次関数などに帰着されることがあります。 例題１ \( […]
極値を持つ条件(数II)
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上野竜生です。今回は極値をもつ条件・持たない条件を紹介します。一般の場合は数IIIに任せて，今回は数IIの範囲ということで多項式，特に3次式・4次式の場合を紹介します。結果を覚えておくといいこともありますよ。 例題１ \ […]
3次関数のグラフの書き方・グラフの形のパターン
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上野竜生です。今回は多項式の微分の計算そのものはできることを前提に，そこからグラフをかけるようにしたいと思います。 微分の意味 詳しくは教科書などで細かく紹介されているが結局のところ次の1つの重要事項だけ覚えればあとは自 […]
放物線の直交する接線の交点の軌跡
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上野竜生です。今回は放物線の直交する接線の交点の軌跡を紹介します。特に新しいことはなく時間がない人は読まなくてもいいレベルですが，有名事実なのでこのまま出題される可能性があります。 例題 y=ax2(a≠0)上の異なる2 […]
関数方程式(多項式の場合)
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上野竜生です。今回は多項式とわかっている場合の関数方程式の解き方を紹介します。解答例が長くて難しそうですが，アイデアはシンプルです。 問題 \( xf(x)=\{ f'(x) \}^2 +x^2-1 \)を満たす整式f( […]
多項式が(x-a)^2で割り切れる条件
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上野竜生です。今回は多項式が(x-a)2で割り切れる条件を考えます。ただし，これの説明には数IIIで習う積の微分を使います。 積の微分 f(x)g(x)をxで微分するとf'(x)g(x)+f(x)g'(x) これは厳密に […]
極限・微分の定義・公式(数II)
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上野竜生です。今回は数IIの微分をするための基本的な極限と基本的な微分を学びます。普通の文系の人なら途中理解できなくても最後の微分だけできればいいかと思います。仕組みがわからなくても機械的に微分できるので最低限そこだけで […]
直交行列など特殊な行列の対角化
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上野竜生です。直交行列など特殊な行列の対角化を扱います。 実対称行列の対角化 ＜復習＞対称行列とはAt=Aを満たす正方行列のこと。特にAの成分が実数ならば実対称行列という。 POINT実対称行列は次の性質が成り立つ ①固 […]
2021千葉大大問4(良問)
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上野竜生です。今回は千葉大学の良問を扱います。 問題 [2021 千葉大 大問4] mを正の整数とする。座標平面上の点(x,y)で \( xn^3+yn^2 (n=1,2,3,\cdots ) \) がすべて整数であるよ […]
2021早稲田理工大問2(良問)
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上野竜生です。入試問題の中で良問だったものを紹介します。 [2021早稲田理工大問2] 整式\( f(x)=x^4-x^2+1 \)について，以下の問に答えよ。 (1) \(x^6\)をf(x)で割ったときの余りを求めよ […]
今週の問題 問107 答え
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上野竜生です。問107の答えを発表します。 問107 ★ \(x+y=6,x\geq 1,y\geq 1\)のとき \( x^2 y^2 - x^2 - y^2 +xy \)の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。 […]
今週の問題 問106 答え
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上野竜生です。問106の答えを発表します。 問106 ★ a,b,cは実数の定数とし，\(f(x)=ax^2-8x-9\)とする。 \(\displaystyle \int_b^c f(x)dx=4\sqrt{2}-6 […]