上野竜生です。問116の答えを発表します。

問116

実数a,b,x,yが
x+y=6 ・・・①
x2+y2=28 ・・・②
ax+by=8 ・・・③
ax2+by2=44 ・・・④
を満たしている。このとき次の値を求めよ。
(1)xy
(2)x3+y3
(3)ax3+by3
(4)ab

 

答え

(1)\( (x+y)^2-(x^2+y^2)=2xy \)に①②を代入すると
36-28=2xy
∴xy=4
(2)\( x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\\ =6^3-3\cdot 4 \cdot 6=216-72=144 \)
(3)\( ax^3+by^3=(ax^2+by^2)(x+y)-xy(ax+by) \\ = 44\cdot 6 - 4 \cdot 8 = 264-32=232 \)
(4)\( (ax+by)(ax^3+by^3)=a^2x^4 + b^2 y^4 +abx^3 y+abxy^3 \)
\( (ax^2+by^2)^2=a^2 x^4+ b^2 y^4 +2abx^2 y^2 \)
辺々引き算すると
\( (ax+by)(ax^3+by^3)-(ax^2+by^2)^2 = ab \{ xy(x^2+y^2)-2(xy)^2 \} \)
\( 8 \cdot 232 - 44^2 = ab(4\cdot 28-2\cdot 4^2) \)
\( 1856-1936 =80ab \)
∴ab=-1

[参考]
\( (ax+by)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=a+\frac{by}{x}+\frac{ax}{y}+b \\ = (a+b)+\frac{ax^2+by^2}{xy} \)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \)より
\( 8 \cdot \frac{3}{2}=a+b+\frac{44}{4} \)
∴a+b=1
x+y=6,xy=4よりx,yは\(3\pm \sqrt{5} \)
a+b=1,ab=-1よりa,bは\(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
となり確かに実数である。

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