上野竜生です。問117の答えを発表します。

問117 [信州大学]

(1)\(\displaystyle \int_0^1 x^4(1-x)^4 dx \)を求めよ。
(2)\(\displaystyle \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} dx \)を求めよ。
(3)\(\displaystyle \frac{1}{1260} < \frac{22}{7} - \pi < \frac{1}{630} \)を示せ。

 

答え

(1)\( x^4(1-x)^4=x^8- 4x^7 + 6x^6- 4x^5 +x^4 \)なので
\(\displaystyle \int_0^1 (x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4 ) dx \\ = \displaystyle \left[ \frac{1}{9}x^9- \frac{1}{2}x^8 + \frac{6}{7}x^7 - \frac{2}{3}x^6 + \frac{1}{5}x^5 \right]_0^1 \\ =\displaystyle \frac{1}{9}-\frac{1}{2}+\frac{6}{7}-\frac{2}{3}+\frac{1}{5} \\ =\displaystyle \frac{70-315+540-420+126}{630} = \frac{1}{630} \)

(2)割り算を実行すると
\(\displaystyle \frac{x^8- 4x^7 + 6x^6- 4x^5 +x^4}{1+x^2} \\ = \displaystyle (x^6 -4x^5 +5x^4 -4x^2+4)-\frac{4}{1+x^2} \)
よって
\(\displaystyle \int_0^1 (x^6 -4x^5 +5x^4 -4x^2+4)-\frac{4}{1+x^2} dx \\ = \displaystyle \left[ \frac{1}{7}x^7 - \frac{2}{3}x^6 + x^5 - \frac{4}{3}x^3+4x \right]_0^1 - 4\cdot \frac{\pi}{4} \\ = \displaystyle \frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi \\ \displaystyle = \frac{22}{7}-\pi \)

(3)0≦x≦1のとき
\(\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1 \)
よって
\(\displaystyle \frac{x^4 (1-x)^4}{2} \leq \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \leq x^4(1-x)^4 \)
これを0から1まで積分すると
\(\displaystyle \frac{1}{1260} < \frac{22}{7}- \pi < \frac{1}{630} \)

 

 

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