上野竜生です。問118の答えを発表します。

問118

0≦a≦b≦c≦d≦eかつ,a+b+c+d+e=5のとき,3つの実数の積aceの最大値を求めよ。

 

答え

①最大となるのはa=bのときである。
なぜならa<bのときaとbを足して2で割ったものをa,bとすると明らかにaは大きくなる。
そのほうがaceは大きくなる。よってa=bのときに最大となる。

②最大となるのはc=dのときである。①と同様

よって2a+2c+e=5,2a≧0,2c≧0,e≧0なので相加相乗平均の関係より
\(\displaystyle \frac{(2a)+(2c)+(e)}{3} \geq \sqrt[3]{(2a)(2c)(e)} \)
2a+2c+e=5なので整理すると
\(\displaystyle \sqrt[3]{4ace} \leq \frac{5}{3} \)
\(\displaystyle 4ace \leq \frac{125}{27} \)
\(\displaystyle ace \leq \frac{125}{108} \)
等号成立は2a=2c=eのとき,つまり\(\displaystyle a=b=c=d=\frac{5}{6} , e=\frac{5}{3} \)のとき。
最大値は\(\displaystyle \frac{125}{108} \)

 

 

 

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