今週の問題 問115 答え
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上野竜生です。問115の答えを発表します。 問115 ★ 三角形ABCの角度について次の①②が成り立っている。 ①\( \sin{C}=\sin{15°} \) ②\( \sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin{ […]
Author: 上野竜生
今週の問題 問114 答え
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上野竜生です。問114の答えを発表します。 問114 ★ 正三角形ABCの内部に点Pがある。AP=4,BP=5,CP=6のとき，正三角形ABCの面積を求めよ。 答え 点PをA,B,Cを中心に時計回りに60° […]
今週の問題 問113 答え
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上野竜生です。問113の答えを発表します。 問113 ★ \(\displaystyle \int_0^1 \frac{x^4 dx}{1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1} […]
積分の面積が等しくなる条件
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上野竜生です。今回は積分で求める面積が等しくなる条件を扱います。正攻法と裏技の両方があるタイプを紹介します。裏技はヒラメキが必要なので本番ひらめかなかったときや，ヒラメキが使えない一般の場合にそなえてどちらの解法でもでき […]
放物線とその法線の間の面積の最小値
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上野竜生です。放物線とその法線の間の面積の最小値を紹介します。特に新しい内容もないのでサクッと流しましょう。 例題 放物線C:y=ax2(a>0)上の点Pから引いた法線をℓとする。Cとℓで囲まれる部分の面積の最小値 […]
多項式の微分を利用した不等式の証明
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上野竜生です。今回は多項式の微分を利用した不等式の証明を紹介します。最大・最小値の求め方はできることが前提です。 ポイント 区間Iでf(x)>g(x)を証明する ⇔区間I全体でf(x)-g(x)>0を証明する […]
2変数関数の合成関数の微分
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上野竜生です。今回は2変数関数の合成関数の微分を覚えましょう。 証明をするとすこし厄介なので教科書に任せて，結果と適用を中心に慣れていきましょう。 合成関数の微分 1変数のとき(復習) z=f(x)とx=g(t)の合成関 […]
2変数関数のテイラー展開
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上野竜生です。2変数のテイラー展開を紹介します。1変数の時よりある意味では難しいけどある意味では簡単です。 テイラー展開 関数f(x,y)は(a,b)の近傍でC2級とする。このとき，その近傍内の任意の点(x,y)に対して […]
今週の問題 問112 答え
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上野竜生です。問112の答えを発表します。 問112 ★ tan20°+4sin20°を計算せよ。（最終結果に三角関数を使ってはいけない） 答え \(\displaystyle \frac{\sin{20° […]
今週の問題 問111 答え
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上野竜生です。問111の答えを発表します。 問111 ★ [京都府立大学] xを超えない最大の整数を[x]と表す。 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{50} \left[ a+\frac{k+16} […]
多変数関数の極大極小の求め方とヘッセ行列
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上野竜生です。今回は2変数関数以上での極値の求め方を紹介します。ヘッセ行列というのを新たに習うのでこれをしっかり理解しましょう。 1変数の時の極大・極小の求め方（復習） step1 f'(x)=0となるxを求める。以下そ […]
偏微分に関する問題
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上野竜生です。今回は偏微分を扱います。 偏微分の定義 yを定数と思って固定してxのみで微分したもの \[ \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} \] を偏微分といい，\(\dis […]
2変数関数の極限の求め方・連続性
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上野竜生です。今回は2変数関数の極限の計算ができるようにします。1変数よりかなり複雑です。 2変数の極限の定義 任意のε>0に対しあるδ>0が存在し \( 0< || \vec{x}-\vec{a} | […]
今週の問題 問110 答え
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上野竜生です。問110の答えを発表します。 問110 ★ [18 一橋大] 15個の実数x1,x2,・・・,x15からなるデータがある。このデータの平均値を\(\bar{x} \)，標準偏差をsとする。 \( |x_i […]
今週の問題 問109 答え
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上野竜生です。問109の答えを発表します。 問109 ★ 四面体OABCがある。OA=OB=OC=1,\( \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=\frac{1}{2 […]