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上野竜生です。今回は大学の統計の問題として一様分布とポアソン分布と幾何分布を紹介します。

一様分布

確率密度関数が一定値kである分布のこと。
最も直感的なので応用問題が出されやすいです。

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例題1

a<bとする。a以上b以下の実数をランダムに1つ選ぶ。
(1)確率密度関数f(x)を求めよ
(2)平均・分散を求めよ。
答え(1)このレベルなら答えだけでも良さそうですが,一様分布に従うので確率密度関数は定数kとおける。つまり
\( f(x)=k (a\leq x \leq b \)のとき),f(x)=0(それ以外)とおける。
確率の和は1だから
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx = k(b-a)=1 \)
よって\(\displaystyle k=\frac{1}{b-a} \)
以上より密度関数はa≦x≦bのとき
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{b-a} \),それ以外のとき0。
(2)平均は
\(\displaystyle \int_a^b xf(x)dx = \left[\frac{1}{2(b-a)} x^2 \right]_a^b = \frac{a+b}{2} \)
分散を求める。
\(\displaystyle E[X^2]=\int_a^b x^2f(x)dx = \left[\frac{1}{3(b-a)} x^3 \right]_a^b = \frac{a^2+ab+b^2}{3} \)
より
分散は
\(\displaystyle E(X^2)-E(X)^2=\frac{a^2+ab+b^2}{3}- \frac{a^2+2ab+b^2}{4} = \frac{a^2-2ab+b^2}{12} \)

例題2

A君とB君はあるお店の営業時間から100分以内に独立に入店する。どのタイミングで入店するかは2人ともランダムである。どちらの人も,入店したあとは30分店に滞在した後に店を出る。1度店を出たら再入店はしない。
(1)営業時間から100分経過した瞬間の時点で,A君・B君のうち1人だけが店にいる確率を求めよ。
(2)A君とB君が店で会う(同時に店にいる瞬間がある)確率を求めよ。
答え(1)A君が入る時間の確率変数をXとする。Xの確率密度関数は\(\displaystyle \frac{1}{100} \)で一定である。
同様にB君が入る時間の確率変数Yの確率密度関数も\(\displaystyle \frac{1}{100} \)で一定である。
条件を満たす場合を考える。
(あ)A君だけが店にいるとき,A君は70分から100分までの間に店に入り, B君は0分から70分までの間に店に入る。
(い)B君だけが店にいるとき,B君は70分から100分までの間に店に入り, A君は0分から70分までの間に店に入る。
(あ)のときA君が70分から100分までの間に店に入る確率は
\(\displaystyle \int_{70}^{100} \frac{1}{100}dx = \frac{3}{10} \)
B君が0分から70分までの間に店に入る確率は
\(\displaystyle \int_{0}^{70} \frac{1}{100}dx = \frac{7}{10} \)
なので\(\displaystyle \frac{21}{100} \)
(い)のときも同様に\(\displaystyle \frac{21}{100} \)なので求める確率は
\(\displaystyle \frac{21}{100}+\frac{21}{100}=\frac{21}{50} \)
(2)|X-Y|≦30なら良い。
X,Yをグラフで表すと赤い部分が条件を満たす。
一様分布
確率の和は1だから全体の□を1としたときの赤い部分の面積の割合を求めればよい。
全体の□の面積は100×100=10000
赤い部分の面積は10000-70×70=5100(∵全体から2つの白い部分を引く。2つの白はあわせると正方形になる)
よって求める確率は\(\displaystyle \frac{51}{100} \)
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ポアソン分布

ある期間に平均λ回起こる現象が、ある期間にX回起きる確率の分布をポアソン分布という。ポアソン分布は二項分布でpが小さく,nが大きいときの極限として考えられる。
\(\displaystyle P(X=k)=e^{-λ} \frac{λ^k}{k!} \)

ポアソン分布の平均はλ,分散もλである。
このあたりの計算には電卓が必須といっていいです。以下の例題の計算には(関数)電卓を使うことを前提としています。

例題3

50個に1個の割合で当たりがでるお菓子がある。このお菓子を120個買ったとき,当たりが1個以下しか出ない確率を求めたい。
(1) 二項分布に従うとして,当たりが1個以下しか出ない確率を求めよ。
(2) ポアソン分布に従うとして,当たりが1個以下しかでない確率を求めよ。
答え(1)当たりが1個も出ない確率は
\(\displaystyle (\frac{49}{50})^{120}=0.08854 \)
当たりが1個の確率は
\(\displaystyle {}_{120}C_{1} \frac{1}{50} (\frac{49}{50})^{119}=0.21683 \)
あわせると0.3054
(2)平均を\( \lambda= 120 \cdot \frac{1}{50}=2.4 \)としてポアソン分布の式を求めると
\( P(X=k)=e^{-2.4} \frac{(2.4)^k}{k!} \)となるから
\( P(X=0)=e^{-2.4}=0.09072 \)
\( P(X=1)=e^{-2.4} \cdot 2.4=0.21772 \)
よってあわせると0.3084

幾何分布

ポアソン分布に比べると出題率はかなり低いです。特に分散などはほぼ見かけません。

成功確率p(,失敗確率1-p)である試行を繰り返すとき,初めて成功するまでの試行回数Xの分布を幾何分布という。つまり最初のk-1回は失敗,k回目は成功することなので
\( P(X=k)=(1-p)^{k-1} p \)

幾何分布の平均は\(\displaystyle \frac{1}{p} \),分散は\(\displaystyle \frac{1-p}{p^2} \)である。

例題4

8%の確率で遅刻する人がいる。今日,その人は遅刻した。次に遅刻するまでの平均日数を求めよ。
答え次に遅刻するまでの平均日数は幾何分布に従うから平均は
\(\displaystyle \frac{1}{0.08}=12.5 \)日。

このあたりは導出は大変ですが公式の結果を覚えればそれほど難しくないはずです。しっかり得点しましょう。

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