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上野竜生です。問113の答えを発表します。
問113 ★
\(\displaystyle \int_0^1 \frac{x^4 dx}{1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4} \)の値を求めよ。
答え
\(\displaystyle \int_0^1 \frac{x^4 dx}{1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4} \\ = \displaystyle \int_0^1 24-\frac{24(1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3)}{1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4 } dx \\ =\displaystyle \left[ 24x-24\log{(1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4)} \right]_0^1 \\ = \displaystyle 24-24\log{(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24})} \\ \displaystyle = 24-24\log{\frac{65}{24}} \)
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