今週の問題　問168　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問168の答えを発表します。

問168

(1)n≧0で定義された数列$ a_n , b_n , c_n $が
$ a_0=-1 , ~ b_0=0 , ~ c_0=2 $
$ a_{n+1}=b_n + c_n \\ b_{n+1}=a_n+c_n \\ c_{n+1}=a_n+b_n $
を満たすとき，$a_n $の一般項を求めよ。

(2)tについての関数x(t), y(t), z(t)が
$x(0)=-1 ,~ y(0)=0 ,~ z(0)=2 $
$ \frac{dx}{dt}=y+z \\ \frac{dy}{dt}=x+z \\ \frac{dz}{dt}=x+y $
を満たすとき，x(t)をtの式で表せ。

答え

(1)3つの数列をすべて足すと
$ a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}=2(a_n+b_n+c_n) $
となるので$ a_n+b_n+c_n $は等比数列。
初項1，公比2だから
$ a_n+b_n+c_n= 2^n $・・・①
（初項がn=1ではなくn=0であることに注意。）

次に第1式から第2式を引くと
$ a_{n+1}-b_{n+1}=-(a_n-b_n) $
同様にして$a_n-b_n $は初項-1，公比-1の等比数列だから
$ a_n-b_n=-(-1)^n $・・・②

第1式から第3式を引いて同様にすると
$ a_n-c_n=-3(-1)^n $・・・③

①＋②＋③より
$ 3a_n=2^n -4(-1)^n $
よって
$\displaystyle a_n= \frac{1}{3} 2^n - \frac{4}{3}(-1)^n $

(2)
3つの方程式をすべて足すと
$ x’(t)+y’(t)+z’(t)=2(x+y+z) $・・・④

一般に関数f(t)がf(0)=A, f’(t)=Bf(t)つまり $ \displaystyle \frac{df}{dt}=Bf $を満たしていたとする。(ただし，A≠0かつB≠0）
このとき
$\displaystyle \frac{1}{f} df= Bdt $なので積分すると
log|f|=Bt +C
よって$ |f(t)|=e^{Bt+C}=e^C \cdot e^{Bt} $
$ f(t)=\pm e^C \cdot e^{Bt}=De^{Bt} $
ただし$ D=\pm e^{C} \neq 0 $
初期条件よりt=0を代入すると$ D=A $
∴$f(t)=Ae^{Bt} $

まとめるとf(0)=A , f’(t)=Bf(t)ならば$ f(t)=Ae^{Bt} $・・・★

これを用いると④は
$ x(t)+y(t)+z(t)=e^{2t} $・・・⑤

問題文の方程式の第1式ー第2式より
$ x’(t)-y’(t)=-(x-y) $
初期値x(0)-y(0)=-1だから★より
$ x(t)-y(t)=-e^{-t} $・・・⑥

同様に第1式ー第3式に★を適用すると
$ x(t)-z(t)=-3e^{-t} $・・・⑦

⑤＋⑥＋⑦より
$ 3x(t)=e^{2t}-4e^{-t} $
よって$\displaystyle x(t)=\frac{1}{3}e^{2t}- \frac{4}{3} e^{-t} $

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