今週の問題 問127 答え
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上野竜生です。問127の答えを発表します。 問127 7つの三角関数の積 \(\displaystyle \cos{\left(\frac{\pi}{127}\right)}\cos{\left(\frac{2\pi}{ […]
Author: 上野竜生
中線定理の8個の証明
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上野竜生です。今回は中線定理をいろいろな方法で証明したいと思います。 中線定理 図の△OABにおいてCはABの中点であるとする。このとき OA2+OB2=2(OC2+AC2) 証明１ 三角関数を用いて示す。 1-1 ∠A […]
|f(x)|の最大値をできるだけ小さくするf(x)はチェビシェフの多項式
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上野竜生です。今回はチェビシェフの多項式の応用問題として，|x|≦1の範囲で|f(x)|の最大値をできるだけ小さくするようなn次多項式の問題を扱います。初見ではほぼ不可能なので1回見ておきましょう。誘導がなければまず解け […]
πは無理数であることの証明
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上野竜生です。今回はπが無理数であることの証明を要求する入試問題があったのでそれを紹介します。かなり有名問題になってしまいましたが，美しい性質を示すのは道のりが大変なことが多いです。この問題も誘導があるとはいえ、かなり難 […]
今週の問題 問126 答え
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上野竜生です。問126の答えを発表します。 問126 ★ 次の連立方程式の実数解の組は何組あるか \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y^3+z^3=0 \\ x^3+ […]
今週の問題 問124 答え
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上野竜生です。問124の答えを発表します。 問124 ★ x6=1を満たすがx3=1を満たさないxは3つある。これらをα,β,γとする。 (α+5)(β+5)(γ+5)の値を求めよ。 答え \( x^6-1 […]
今週の問題 問123 答え
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上野竜生です。問123の答えを発表します。 問123 ★ [数学オリンピック] 正三角形の内部に点Pがあり，Pから各辺に下した垂線の長さはそれぞれ1,2,3であるとする。この正三角形の一辺の長さを求めよ。 […]
今週の問題 問125 答え
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上野竜生です。問125の答えを発表します。 問125 ★ 任意のa,b,cに対し，\(\displaystyle \int_{-1}^1 (a+bx+cx^2)f(x) dx=0\)となる最高次係数が1の3次式f(x)を […]
4次方程式の解の公式
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上野竜生です。5次以上の方程式には解の公式が存在しません。ギリギリ解の公式が存在するのが4次方程式までです。4次方程式の解の公式ってどんなのだろう？覚えられるのかな？と興味をもつのは自然な考えでしょう。残念ながら4次方程 […]
3次方程式の解の公式の考え方
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上野竜生です。今回は3次方程式の解の公式の考え方を理解しましょう。一般の場合で処理するのはきわめて大変なので比較的簡単な具体例で理解するようにします。 導出方法や本質部分はこれで十分理解できると思います。 一般の3次方程 […]
3次方程式の解から係数を決定する3つの方法
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上野竜生です。今回は実数係数の3次方程式で，虚数解が1つわかっているときに未知数2つを特定し，残りの解を求めます。 例題 a,bは実数とする。3次方程式 \( x^3-5x^2+ax+b=0 \) がx=2+iを解に持つ […]
因数分解できる3次方程式が異なる3つの実数解や2重解をもつ条件
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上野竜生です。今回は3次方程式が異なる3つの実数解や2重解をもつ条件を紹介します。因数分解できるときは因数分解してしまうと楽になりますが，ちょっとした落とし穴もあるので一度解いておきましょう。 例題 aを実数とする。3次 […]
4次方程式の解の個数（微分せずに工夫できる２パターン）
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上野竜生です。4次方程式の解の個数に関する問題を紹介します。微分まで習っていれば微分で計算するのが基本ですが，そんなことをしなくてもできるパターンを紹介します。 例題1 複2次式 aを実数とする。 \( x^4-ax^2 […]
留数定理と留数計算の実積分での応用例②（応用中の応用パターン）
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上野竜生です。今回は留数定理の応用例の続きを紹介します。典型的な基礎パターンについて読んでいない人はここから復習しておきましょう。 あわせて読みたい 基本パターンは，上側の半円が積分経路になるパターンと，sinやcosの […]
留数定理と留数計算の実積分での応用例①（典型的な基礎パターン）
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上野竜生です。今回は留数定理と，実関数の積分に応用する例を紹介します。応用パターンはたくさんありますが，まずはこれからの応用の基礎となる２パターンを紹介します。応用の基礎という言い方が不自然かもしれませんが，長くなったの […]