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上野竜生です。今回は二項係数の最大・最小問題を扱います。二項係数をnの式などで書けるのが基本です。そのうえで最大・最小の計算をしていきます。少し変わった方法なので1度は目を通しておきましょう。

例題

(1) (x+10)1000のxnの係数をanとする。anが最大となるようなnの値を求めよ。
(2) (3x-10)100のxnの係数をbnとする。bnが最大となるようなnの値と,最小となるようなnの値をそれぞれ求めよ。
答え(1)
\(\displaystyle a_n= {}_{1000}C_n 10^{1000-n} \)なので
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{{}_{1000}C_{n+1} 10^{1000-n-1}}{{}_{1000}C_n 10^{1000-n}} \\ =\displaystyle \frac{1000!}{(n+1)!(999-n)!} \cdot \frac{n!(1000-n)!}{1000!} \cdot \frac{10^{999-n}}{10^{1000-n}} \\ = \displaystyle \frac{1000-n}{10(n+1)} \)
よって
\(\displaystyle \frac{1000-n}{10(n+1)}>1 \)を解くと
\( 1000-n>10n+10 \)
\( 11n<990 \)
\( n<90 \)
同様にすると
n<90のとき\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} >1 \)
n=90のとき\(\displaystyle \frac{a_{91}}{a_{90}} =1 \)
n>90のとき\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} <1 \)
まとめると
\(a_1 < a_2 < \cdots <a_{89}<a_{90}=a_{91}>a_{92}> \cdots \)
となるので,\(a_n \)が最大となるようなnの値はn=90,91
(2)
\(\displaystyle b_n= {}_{100}C_n 3^n (-10)^{100-n} \)である。
\(b_n \)の符号は正と負の両方をとるので,最大となるのは正で絶対値が最大のとき,最小となるのは負で絶対値が最大となるとき。
よって絶対値が最大となる部分を探す。
\(\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}= \frac{{}_{100}C_{n+1} 3^{n+1} (-10)^{100-n-1}}{{}_{100}C_n 3^n (-10)^{100-n}} \\ =\displaystyle \frac{100!}{(n+1)!(99-n)!} \cdot \frac{n!(100-n)!}{100!} \cdot \frac{3^{n+1} \cdot (-10)^{99-n}}{3^n (-10)^{100-n}} \\ = \displaystyle \frac{3(100-n)}{-10(n+1)} \)
つまり
\( \displaystyle \frac{|b_{n+1}|}{|b_n|} = \frac{3(100-n)}{10(n+1)} \)
よって
\(\displaystyle \frac{3(100-n)}{10(n+1)}>1 \)を解くと
\( 300-3n>10n+10 \)
\( 13n<290 \)
\( n<22.3\cdots \)
同様にすると
n≦22のとき\(\displaystyle \frac{|b_{n+1}|}{|b_n|} >1 \)
n≧23のとき\(\displaystyle \frac{|b_{n+1}|}{|b_n|} <1 \)
まとめると
\(|b_1| < |b_2| < \cdots <|b_{22}| <|b_{23}| > |b_{24}| > \cdots \)
となる。
\(b_{23}<0 , b_{22}>0 , b_{24}>0 \)なので最小となるnは23であり,最大となるnは22か24のどちらかである。
\(\displaystyle \frac{b_{24}}{b_{22}} = \frac{{}_{100}C_{24} 3^{24} (-10)^{76}}{{}_{100}C_{22} 3^{22} (-10)^{78}} \\ =\displaystyle \frac{100!22!78!\cdot 9}{24!76!100! \cdot 100} = \frac{78 \cdot 77 \cdot 9}{24\cdot 23 \cdot 100} \cdots <1 \)
なので
\(b_{24}<b_{22} \)
となり最大となるnはn=22

 

このタイプは各係数をnの式で表すのが第一歩で,さらにそのあとに解析をします。少し独特なやり方ですが出題頻度はそれなりに高いので見ておきましょう。

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