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上野竜生です。問126の答えを発表します。

問126 

次の連立方程式の実数解の組は何組あるか
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y^3+z^3=0 \\ x^3+y+z^3=0 \\ x^3+y^3+z=0 \end{array} \right.\end{eqnarray}

[数学検定1級]

 

答え

ア)x,y,zが3つとも等しいとき
イ)x,y,zのうち2つが等しく1つが異なるとき
ウ)x,y,zが3つともバラバラのとき
に場合分けをする。

ア)x=y=zのとき

もとの方程式に代入すると
\( 2x^3+x=0 \)
\( 2x^3+x=x(2x^2+1) \)で\( 2x^2+1 >0 \)だから実数解はx=0のみ。
よってこのときは(x,y,z)=(0,0,0)の1組。

イ)x=y≠z

とする。このとき元の方程式に代入すると
\( x+x^3+z^3=0 \)・・・①
\( 2x^3+z=0 \)・・・②
②より\( z=-2x^3 \)を①に代入すると
\( x+x^3-8x^9= 0\)
つまり\( 8x^9-x^3-x=0 \)・・・③の実数解を考えればよい。
この②より\( z=-2x^3 \)なのでx≠zの条件から
\(\displaystyle x \neq 0  \)
③の両辺をx(≠0)で割ると
\( 8x^8-x^2-1 =0 \)・・・④
④の実数解の個数を求めればそれがx=y≠zの解の個数となる。

\( f(x)=8x^8-x^2-1 \)とおくと偶関数なのでx≧0だけ調べれば良い。
\( f’(x)=64x^7-2x \)
よりf’(x)=0となるx(≧0)は
\(\displaystyle x=0, \frac{1}{\sqrt[6]{32}} \)
よって増減表は

\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt[6]{32}} & \cdots & (\infty)  \\ \hline f’(x) & 0 & - & 0 & + &  \\ \hline f(x) & -1 & \searrow &  & \nearrow & (\infty)\end{array}

なのでx>0の範囲で1つの実数解をもつ。
偶関数であることを利用するとxは2つの実数解をもつ
以上よりx=y≠zとなる解は2つ。
同様にしてy=z≠x,z=x≠yも2つずつあるので
x,y,zのうち2つが等しく残りの1つが異なる場合は解が6組存在する。

ウ)x≠y≠z≠xのとき

もとの連立方程式の第1式から第2式を引くと
\( x-x^3 + y^3 -y =0\)
整理すると
\( (y^3-x^3)-(y-x)=0\)
\( (y-x)(y^2+xy+x^2-1)=0 \)
y≠xなので
\( x^2+xy+y^2=1 \)・・・⑤
同様にすると
\( y^2+yz+z^2=1 \)・・・⑥
\( z^2+zx+x^2=1\)・・・⑦
⑤ー⑥より
\( x^2+xy-yz-z^2 \\ = (x+z)(x-z)+y(x-z) \\ = (x-z)(x+y+z)=0 \)
x≠zよりx+y+z=0・・・⑧
つまり,x=-(y+z)をもとの式の第1式に代入すると
\( y^3+z^3-(y+z) \\=(y+z)(y^2-yz+z^2-1)=0 \)
つまりy+z=0または\( y^2-yz+z^2=1\)
y+z=0とすると⑧よりx=0
\( y^2-yz+z^2=1 \)とすると⑥よりyz=0
よってx,y,zのうちの少なくとも1つは0である。
x=0とする。y+z=0よりz=-yをもとの式の第2式に代入すると
\( y-y^3=0 \)
つまり,y=0,1,-1
x≠yよりy=0は不適。
ここから(x,y,z)=(0,1,-1),(0,-1,1)が得られるがこれはもとの連立方程式をすべて満たす。
よって並べ替えも含めると
(x,y,z)は0,1,-1の並べ替えの6通りが適する。

結論

ア)1通り イ)6通り ウ)6通り
なので合計13組存在する。

 

正解者:0名

 

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