2次試験など，記述問題対策を扱っています。
コーシーシュワルツの不等式の応用
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上野竜生です。コーシーシュワルツの不等式の応用例を紹介します。教科書レベルからは少し外れるので，これを使わないと解けない問題はほぼ出ませんが，知っておいたら有利な問題はたまにあります。使い方に慣れないとミスしやすいので […]
2次試験対策
有名な不等式の証明（チェビシェフの和の不等式・レムスの不等式）
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上野竜生です。不等式の証明の基本は(左辺)-(右辺)を計算するか，両辺が正であるとわかっていれば(左辺)2-(右辺)2を計算することでした。しかし，実際の入試だとそれだけでは解ききれない不等式の難問もたくさんあります。今 […]
立体の最短経路の長さ
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上野竜生です。今回は立体の表面上の最短距離を紹介します。発想自体は中学受験や高校受験をやっていればわかると思いますがそれをやってなかった人にはかなり難しく感じるでしょう。出題頻度は低いのでそこまで重要ではありません。 例 […]
6辺の長さから四面体の体積を求める
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上野竜生です。四面体には6つの辺がありますが，6つの辺の長さを指定されたら体積は求まるはずです。どのようにして求めるのか考えてみましょう。一般の場合だと計算が大変なので，工夫できる３パターンを紹介します。最後に一般の場合 […]
三角方程式・三角不等式・最大最小問題（数I範囲）
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上野竜生です。今回は三角方程式と三角不等式のうち数I範囲のものを教えます。どっちにしろ数IIでやり直すことになるので数I範囲としてはそこまで重要な問題ではないです。 例題１ 0°≦θ≦180°とする。次の方程式・不等式を […]
トレミーの定理の証明と具体例
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上野竜生です。今回はトレミーの定理を紹介します。アイデアは普通だけど頑張って文字計算するのがしんどい証明と，アイデアは難しいけど計算はほとんどない証明の２つを紹介します。そのうえでトレミーの定理を使うと便利な例題も紹介し […]
ブラーマグプタの公式の証明とその拡張
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上野竜生です。今回はヘロンの公式の拡張としてブラーマグプタの公式を紹介して証明します。あまり頻繁に使うことはないと思うので興味がある人用のコンテンツです。さらに発展例としてブレートシュナイダーの公式と双心四角形の面積の公 […]
三角形の内接円の半径と外接円の半径の違い
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上野竜生です。今回は三角形の内接円と外接円の半径の求め方を整理します。どちらもすでに習ったような基本事項ですが内接円と外接円がごちゃまぜにならないように一度整理しておきましょう。 例題 三角形ABCにおいてAB=4,BC […]
15°,75°,22.5°,67.5°の三角比をうまい三角形で求める
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上野竜生です。今回は15°,75°,22.5°,67.5°の三角比を，うまい三角形から求めることを紹介します。数IIの三角関数を習うと二倍角の公式や半角の公式を習うのでそこから求められますが，数Iでも適切な三角形をかいて […]
正n角形の面積・周の長さ
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上野竜生です。今回は正n角形の面積と周の長さを求めます。半径1の円に内接するほうが楽ですが，ついでに一辺が1の正n角形の面積も考えます。もちろん一辺が1の正n角形の周りの長さはnであることはいうまでもありません。 問題 […]
ヘロンの公式の証明と適用
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上野竜生です。今回は3辺の長さがわかったときにその三角形の面積を求めることができるヘロンの公式を紹介します。証明と例題で確認しましょう。 ヘロンの公式 POINT3辺の長さがa,b,cである三角形の面積は\(\displ […]
二項係数の最大・最小
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上野竜生です。今回は二項係数の最大・最小問題を扱います。二項係数をnの式などで書けるのが基本です。そのうえで最大・最小の計算をしていきます。少し変わった方法なので1度は目を通しておきましょう。 例題 (1) (x+10) […]
中線定理の8個の証明
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上野竜生です。今回は中線定理をいろいろな方法で証明したいと思います。 中線定理 図の△OABにおいてCはABの中点であるとする。このとき OA2+OB2=2(OC2+AC2) 証明１ 三角関数を用いて示す。 1-1 ∠A […]
|f(x)|の最大値をできるだけ小さくするf(x)はチェビシェフの多項式
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上野竜生です。今回はチェビシェフの多項式の応用問題として，|x|≦1の範囲で|f(x)|の最大値をできるだけ小さくするようなn次多項式の問題を扱います。初見ではほぼ不可能なので1回見ておきましょう。誘導がなければまず解け […]