正接定理とその証明

上野竜生です。三角関数はsin(正弦)・cos(余弦)・tan(正接)と習いますね。正弦定理・余弦定理とくれば正接定理もあるのか気になると思います。答えはYESです。教科書には載ってないことが多いですし，使える場面もかなり限られているので覚える必要はないです。ハッキリ言うとそれほど重要な内容ではありません。

正接定理

三角形ABCについて次が成り立つ。
\[ \displaystyle \frac{a-b}{a+b}= \frac{\tan{\frac{A-B}{2}}}{\tan{\frac{A+B}{2}}} \]

証明

正弦定理より△ABCの外接円の半径をRとすると
\( 2R=\frac{a}{\sin{A}} \)
つまり\(a=2R\sin{A} \)
同様にして\( b=2R\sin{B} \)

示したい式の左辺を整理する
\(\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{2R\sin{A}-2R\sin{B}}{2R\sin{A}+2R\sin{B}} \\ \displaystyle =\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{A}+\sin{B}} \)
分母と分子に三角関数の和積の公式を使うと
\(\displaystyle \frac{2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{ 2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}} \\ = \displaystyle \frac{\tan{\frac{A-B}{2}}}{\tan{\frac{A+B}{2}}} \)
=右辺
となるので正接定理が成立。

この定理を知ったからと言ってそれほど応用例はありません。興味のある人向けのコンテンツなのでしっかり復習するというタイプの内容ではないです。