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上野竜生です。四面体には6つの辺がありますが,6つの辺の長さを指定されたら体積は求まるはずです。どのようにして求めるのか考えてみましょう。一般の場合だと計算が大変なので,工夫できる3パターンを紹介します。最後に一般の場合も方法を紹介しますよ。

パターン1 OA=OB=OCの四面体の体積

この場合底面をABCとみます。3辺がわかっているので△ABCの面積がわかります。あとは高さがわかればOKです。OからABCに垂線をおろして,平面ABCとの交点をHとするとHは△ABCの外心になります。(詳しい説明は例題1の解答のところにあります)
あとは外接円の半径を正弦定理で求めて,四面体の高さを求めましょう。

例題1

OA=OB=OC=AB=7,BC=5,CA=8である四面体OABCの体積を求めよ。
答えOから三角形ABCに下した垂線の足をHとし,OH=hとする。
OA=OB=OCであり,
\( AH=\sqrt{OA^2 -h ^2} , BH=\sqrt{OB^2-h^2} , CH=\sqrt{OC^2-h^2} \)
だからAH=BH=CH。つまりHは三角形ABCの外心である。

三角形ABCの面積と外接円の半径を求める。
∠ACB=θとおくと余弦定理より
\(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{5^2+8^2-7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8}=\frac{1}{2} \)
よってsinθ>0だから\(\displaystyle \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
正弦定理より△ABCの外接円の半径をRとすると
\(\displaystyle 2R=\frac{7}{\sin{\theta}}=7 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \)
∴\(\displaystyle R=\frac{7}{\sqrt{3}} \)
よって\( \displaystyle h=\sqrt{OA^2-R^2} = \sqrt{49-\frac{49}{3}} =\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
三角形ABCの面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \sin{\theta}=10\sqrt{3} \)
だから求める四面体OABCの体積は
\(\displaystyle \frac{1}{3} \cdot 10\sqrt{3} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{70\sqrt{2} }{3} \)
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パターン2 対称面がある四面体の体積

つまり二等辺三角形2枚が1つの辺を共有しているようなパターンです。(下の例題2のような図をイメージしてください。OA=OCかつBA=BCならばパターン2になります。)
この場合はACの中点をMとして平面OMBで切断すると全く同じ立体が左右に2つできます。しかもACと平面OMBは垂直なので底面をOMBとし,△OMBの面積さえわかれば高さはAM+MC=ACなので体積は比較的容易に求まります。

例題2

OA=OC=AB=BC=7,OB=5,CA=8である四面体OABCの体積を求めよ。
答えACの中点をMとする。OM⊥ACかつBM⊥ACなので平面OBMとACは垂直である。

△OBMにおいてOM=BM=\(\sqrt{7^2-4^2}=\sqrt{33} \)
なので△OMBは下の図のような三角形である。

OBの中点をNとすると
\(\displaystyle MN=\sqrt{33-\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{107}}{2} \)
よって△OMBの面積は\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{107}}{2} = \frac{5\sqrt{107}}{4} \)
四面体OABCの体積は
四面体COMB+四面体AOMB
\(\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \frac{5\sqrt{107}}{4} \cdot 4 + \frac{1}{3} \cdot \frac{5\sqrt{107}}{4} \cdot 4 \\ = \displaystyle \frac{10\sqrt{107}}{3} \)

 

パターン3 等面四面体(4つの面の三角形がすべて合同)

これは難関大学ではたまに出てきますし,初見では絶望的にひらめかないので見ておかないと解けないでしょう。知っておくとかなり有利になります。

四面体の4つの面がすべて合同なとき,等面四面体と呼びます。

いくつか重要な性質を述べます。

POINT1. 等面四面体になるのは,4つの面が鋭角三角形のときで,そのときに限る。つまり直角三角形や鈍角三角形の等面四面体は存在しないし,鋭角三角形は必ず等面四面体になります。

2. すべての等面四面体は直方体に埋め込めます。直方体ABCD-EFGHの中から4点A,C,F,Hを結んでできる四面体が等面四面体(これはそれぞれの辺の長さを三平方の定理で計算すれば容易)になりますが,逆にどんな等面四面体Xもうまく縦・横・高さの値を決めればその直方体ABCD-EFGHの4点A,C,F,Hを結んでできる四面体がXになるというのです。
等面四面体の性質

大学入試では国公立の記述なら性質1の証明をさせられたり,私立なら性質2を使って体積を求めさせたり(→例題3)しますが,いずれも直方体に埋め込めるという知識を使ってスタートすればかなり楽になります。

例題3

OA=BC=5, OB=CA=7, OC=AB=8である四面体OABCの体積を求めよ。
答え縦,横,高さがそれぞれx,y,zの直方体に埋め込めるとする。すると
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2=25 \\ y^2+z^2=49 \\ z^2+x^2=64 \end{array} \right.\end{eqnarray} \)
となるのでこれを解く
\( x^2=20 , y^2=5, z^2=44 \)
四面体OABCの体積は直方体の体積から4つの三角錐の体積を引いたもの(↓の補足参照)なので
\(\displaystyle xyz- \frac{1}{6}xyz \cdot 4=\frac{1}{3}xyz \\ =\displaystyle  \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{11} \\ \displaystyle = \frac{20\sqrt{11}}{3} \)

【補足】

等面四面体の性質

四面体ACFHは直方体ABCD-EFGHから四面体B-ACFとD-ACHとG-CFHとE-AHFを取り除いたものである。
それぞれの四面体の体積は直方体の体積と比べると底面積を求める時に\(\displaystyle \frac{1}{2} \)倍され,三角錐の体積の公式で\(\displaystyle \frac{1}{3} \)倍されるので1つ1つはもとの直方体の\(\displaystyle \frac{1}{6} \)倍となります。

このように埋め込んだ四面体の体積を求める時はもとの直方体から体積\(\displaystyle \frac{1}{6} \)倍の三角錐4つをひくので,四面体の体積は直方体の体積の\(\displaystyle \frac{1}{3} \)倍になります。経験として知っておくとこれも有利になるでしょう。

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オマケ 一般の四面体の体積の求め方

これは数Iの三角比とかの範囲を超えているうえに,基本的に力技になるのであまり出題される傾向にはありません。やり方としてはすべて座標平面でおきます。

四面体ABCDの体積がほしければC(0,0,0),D(a,0,0)(aはCDの長さ)とおきます。
次にxy平面上にB(b,c,0)(c>0)をBC,BDの長さの条件にあうように連立させてb,cを求めて定めます。
最後にA(x,y,z)(z>0)をAB,AC,ADの長さの条件に合うように連立させてx,y,zを求めて定めます。
そうすれば△BCDの面積は\(\displaystyle \frac{1}{2}ac \)
高さはzになるので体積は\(\displaystyle \frac{1}{6}acz \)
と求まります。

二等辺三角形や直角があればB,C,Dぐらいまではすぐに座標を定められるのでAだけ連立させればよく,ごくまれに出題されますが完全に辺の長さがバラバラの四面体の体積は解く側も採点者側も面倒なので見たことはありません。

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