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上野竜生です。今回は立体の表面上の最短距離を紹介します。発想自体は中学受験や高校受験をやっていればわかると思いますがそれをやってなかった人にはかなり難しく感じるでしょう。出題頻度は低いのでそこまで重要ではありません。

例題1

図のように底面が半径2の円,母線OAの長さが6の直円錐がある。
OAの中点をCとする。図のように糸をAからCの位置まで1周巻き,ピンと張った。
(1)糸の長さを求めよ。
(2)OB上にある糸の位置をPとするとき,OPを求めよ。(ただしABが底面の円の直径となるようにBを定める)
円錐

中学受験や高校受験でやったと思いますが,このタイプは展開図をかいて,一直線で結ぶのが最短です。

答え展開図を書くと図の通り。下の円の円周は4πなので扇形の中心角は120°である。

(1)ピンと張った時の糸は三角形OACの線分ACのことである
△OACにおいて余弦定理より
\( AC^2= 6^2 + 3^2 - 2\cdot 6 \cdot 3 \cos{120°}\\= 36+9+18=63 \)
よって糸の長さは\(3\sqrt{7} \)
(2)線分OBは∠AOCの二等分線であるから角の二等分線の長さを求めればよい。
三角形OACの面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3 \cdot \sin{120°}=\frac{9\sqrt{3}}{2} \)
OPをxとすると△OAP+△OPCの面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot x \sin{60°}+\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x \sin{60°} \\ \displaystyle = \frac{9\sqrt{3}x}{4} \)
これが△OACの面積と等しいから
\(\displaystyle \frac{9\sqrt{3}x}{4}= \frac{9\sqrt{3}}{2} \)
∴x=2
OP=2である。

角の二等分線の求め方は基礎として学習済みですが,忘れている人,分からなかった人はここから復習しましょう

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例題2

1辺の長さが3の正四面体ABCDがある,
辺AD上にAE=1となるように点Eをとる。
辺BC上を点P,辺BD上を点Qが動くとき,
線分の長さの和AP+PQ+QEの最小値を求めよ。

 

答え展開図を書くと下の通り

AP+PQ+QEが最小となるのはAP,PQ,QEが一直線上のとき。つまり線分AE上に点P,Qがあるとき。このときの最小値は赤線AEの長さに等しい。余弦定理より
\(\displaystyle AE^2= 6^2+1^2-2\cdot 6 \cdot 1 \cdot \cos{60°} \\ = 36+1-6=31\)
よって\( AP+PQ+QE=\sqrt{31} \)

中学・高校入試なら定番ですが,大学入試としてはちょっと変わった問題です。展開図でつまずいた人は小学校からの復習になってしまいますが出題頻度も低いので飛ばしても問題なさそうです。余弦定理をちょっと使って終わりなので高校数学部分は特に難しくはないでしょう。

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