数学の基礎から共通テスト対策までを扱っています。
ユークリッドの互除法とRSA暗号
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上野竜生です。今回はユークリッドの互除法との関連テーマとしてRSA暗号を紹介します。 情報Iが試験に加わることを意識して情報的な背景の説明を長めにいれているのでさっさと数学的問題を解きたい人は「問題（再掲）」の段落まで読 […]
基礎編・共通テスト対策
ユークリッドの互除法と年齢当て問題の一般化
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上野竜生です。センター試験から共通テストに変わりましたがその中でもさらに2025年から変化します。2024年度で姿を消す整数の問題について最後に出そうなネタを考えてみました。 その結果 POINT・年齢当て問題の一般化 […]
共通テストの裏ワザで最後の大逆転を狙え！
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上野竜生です。共通テスト直前になってくると最後の手段として正攻法ではない解法や裏技などに頼りたくなります。どれだけ自信のある人でも試験問題を見ていない以上，やはり裏技を知りたくなるものです。そこで今回は共通テストの裏技を […]
相関係数目分量クイズ
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上野竜生です。共通テストでは散布図をみて相関係数を目分量で当てる問題が出てきます。もちろん厳密な値は出せませんが選択肢の中から当てる形式で出題されます。昔は大雑把でもわかるぐらいの選択肢だったのですが，最近は難化していて […]
三角比の条件から三角形の形状を決定する問題の解き方
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上野竜生です。△ABCにおいて三角比を含んだ条件式が与えられたときに，それがどのような三角形なのかを求める問題を紹介します。基本的にはsin,cosは邪魔なので辺の長さa,b,cで表すことがコツです。 ポイント POIN […]
三角形の内接円の半径と外接円の半径の違い
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上野竜生です。今回は三角形の内接円と外接円の半径の求め方を整理します。どちらもすでに習ったような基本事項ですが内接円と外接円がごちゃまぜにならないように一度整理しておきましょう。 例題 三角形ABCにおいてAB=4,BC […]
sin18°とcos36°を二等辺三角形から求める
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上野竜生です。sin18°,cos36°は数IIで3倍角の公式まで習うとできますが，数Iの範囲でもうまい図形をかくと求めることができます。かなり有名なのでノーヒントで導き出せるようにしたい問題です。 有名問題 次の図にお […]
15°,75°,22.5°,67.5°の三角比をうまい三角形で求める
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上野竜生です。今回は15°,75°,22.5°,67.5°の三角比を，うまい三角形から求めることを紹介します。数IIの三角関数を習うと二倍角の公式や半角の公式を習うのでそこから求められますが，数Iでも適切な三角形をかいて […]
正n角形の面積・周の長さ
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上野竜生です。今回は正n角形の面積と周の長さを求めます。半径1の円に内接するほうが楽ですが，ついでに一辺が1の正n角形の面積も考えます。もちろん一辺が1の正n角形の周りの長さはnであることはいうまでもありません。 問題 […]
三角比の対称式
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上野竜生です。今回は三角比の対称式を扱います。三角関数には相互法則があるので1つの式（sinθ+cosθの値）がわかるだけでsinθcosθが導け，そこからすべての対称式の値がわかります。 例題 \(\displayst […]
三角比の測量と三角比表
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上野竜生です。数学の問題としてはあまり定番ではない測量の問題ですが，共通テストではよく見かけます。意外と苦戦する人もいるので紹介します。数学的には角度は30°や45°など，きれいな角度しか解きにくいのですが，三角比表を与 […]
4次方程式の解の個数（微分せずに工夫できる２パターン）
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上野竜生です。4次方程式の解の個数に関する問題を紹介します。微分まで習っていれば微分で計算するのが基本ですが，そんなことをしなくてもできるパターンを紹介します。 例題1 複2次式 aを実数とする。 \( x^4-ax^2 […]
和と積から2次方程式をつくる
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上野竜生です。今回は与えられた解をもつ2次方程式の作成や，和と積が与えられたときの2つの値を求めることを行います。実数のときにもやっているかもしれませんが複素数解をもつときを扱っています。 解と係数の関係 実数解をもつと […]
2次方程式のiを用いた解の公式と判別式
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上野竜生です。今回は複素数まで習ったうえでの2次方程式の解の公式と判別式を紹介します。 2次方程式の解の公式 \( ax^2+bx+c=0 \)の解は \( \displaystyle x=\frac{-b \pm \s […]
複素数の導入と四則演算
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上野竜生です。今回は複素数の導入と四則演算・大小比較ができないことと複素数の等式を扱います。 iの定義 実数では2乗すると必ず0以上になるが，2乗して-1になる数をiとする。 もちろんiは実数ではない。iは数直線上にはな […]