今週の問題 問111 答え
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上野竜生です。問111の答えを発表します。 問111 ★ [京都府立大学] xを超えない最大の整数を[x]と表す。 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{50} \left[ a+\frac{k+16} […]
著者：上野竜生
多変数関数の極大極小の求め方とヘッセ行列
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上野竜生です。今回は2変数関数以上での極値の求め方を紹介します。ヘッセ行列というのを新たに習うのでこれをしっかり理解しましょう。 1変数の時の極大・極小の求め方（復習） step1 f'(x)=0となるxを求める。以下そ […]
偏微分に関する問題
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上野竜生です。今回は偏微分を扱います。 偏微分の定義 yを定数と思って固定してxのみで微分したもの \[ \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} \] を偏微分といい，\(\dis […]
2変数関数の極限の求め方・連続性
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上野竜生です。今回は2変数関数の極限の計算ができるようにします。1変数よりかなり複雑です。 2変数の極限の定義 任意のε>0に対しあるδ>0が存在し \( 0< || \vec{x}-\vec{a} | […]
今週の問題 問110 答え
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上野竜生です。問110の答えを発表します。 問110 ★ [18 一橋大] 15個の実数x1,x2,・・・,x15からなるデータがある。このデータの平均値を\(\bar{x} \)，標準偏差をsとする。 \( |x_i […]
今週の問題 問109 答え
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上野竜生です。問109の答えを発表します。 問109 ★ 四面体OABCがある。OA=OB=OC=1,\( \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=\frac{1}{2 […]
今週の問題 問108 答え
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上野竜生です。問108の答えを発表します。 問108 ★ [数学オリンピック 2019] AB>ACをみたす三角形ABCの内心をIとし，辺AB,ACを1:8に内分する点をそれぞれD,Eとする。三角形DIEが一辺の長 […]
不定積分の定義・計算・定積分の計算・性質
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上野竜生です。今回は微分まで終えていることを前提に積分に入っていきます。ざっくりいうと微分の反対が積分です。 積分とは 微分の反対の計算を積分という。 たとえばf(x)の微分がf'(x)ならf'(x)の積分はf(x)とい […]
指数・対数・三角関数の最大最小（数II）
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上野竜生です。今回は指数関数・対数関数・三角関数の最大最小問題のうち，多項式の微分の形にもってこれるものを集めました。一見指数関数の問題や三角関数の問題に見えても結局3次関数などに帰着されることがあります。 例題１ \( […]
極値を持つ条件(数II)
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上野竜生です。今回は極値をもつ条件・持たない条件を紹介します。一般の場合は数IIIに任せて，今回は数IIの範囲ということで多項式，特に3次式・4次式の場合を紹介します。結果を覚えておくといいこともありますよ。 例題１ \ […]
3次関数のグラフの書き方・グラフの形のパターン
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上野竜生です。今回は多項式の微分の計算そのものはできることを前提に，そこからグラフをかけるようにしたいと思います。 微分の意味 詳しくは教科書などで細かく紹介されているが結局のところ次の1つの重要事項だけ覚えればあとは自 […]
放物線の直交する接線の交点の軌跡
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上野竜生です。今回は放物線の直交する接線の交点の軌跡を紹介します。特に新しいことはなく時間がない人は読まなくてもいいレベルですが，有名事実なのでこのまま出題される可能性があります。 例題 y=ax2(a≠0)上の異なる2 […]
関数方程式(多項式の場合)
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上野竜生です。今回は多項式とわかっている場合の関数方程式の解き方を紹介します。解答例が長くて難しそうですが，アイデアはシンプルです。 問題 \( xf(x)=\{ f'(x) \}^2 +x^2-1 \)を満たす整式f( […]
多項式が(x-a)^2で割り切れる条件
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上野竜生です。今回は多項式が(x-a)2で割り切れる条件を考えます。ただし，これの説明には数IIIで習う積の微分を使います。 積の微分 f(x)g(x)をxで微分するとf'(x)g(x)+f(x)g'(x) これは厳密に […]