当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。問110の答えを発表します。

問110 

[18 一橋大]
15個の実数x1,x2,・・・,x15からなるデータがある。このデータの平均値を\(\bar{x} \),標準偏差をsとする。
\( |x_i - \bar{x}|>2s \)を満たすxiの個数は3以下であることを証明せよ。

 

 

答え

\( |x_1 - \bar{x}|^2+ |x_2 - \bar{x}|^2 + \cdots + |x_{15}-\bar{x}|^2 =15s^2 \)
もし
\( |x_i - \bar{x}|>2s \)を満たすxiの個数が4個以上あると仮定する。少なくとも4個はあるからそれらを
\(x_a,x_b,x_c,x_d \)とする。するとそれらの和は

\( |x_a-\bar{x}|^2+ |x_b-\bar{x}|^2+ |x_c-\bar{x}|^2+ |x_d-\bar{x}|^2>(2s)^2+(2s)^2+(2s)^2+(2s)^2=16s^2 \)

\( x_a,x_b,x_c,x_d \)以外の11個のデータに関しても2乗すれば0以上になるから
\( |x_i-\bar{x}|^2 \geq 0 \)は成り立つ。よってそれらの11個のデータも加えた15個のデータに関する和として次が成り立つ。
\( |x_1 - \bar{x}|^2+ |x_2 - \bar{x}|^2 + \cdots + |x_{15}-\bar{x}|^2 >16s^2 \)
これは
\( |x_1 - \bar{x}|^2+ |x_2 - \bar{x}|^2 + \cdots + |x_{15}-\bar{x}|^2 =15s^2 \)
に矛盾。よって\( |x_i - \bar{x}|>2s \)を満たすxiの個数は3以下である。

 

 

正解者 1名(古春さま)

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。