ガンマ関数とベータ関数
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上野竜生です。大学の微分積分で習うベータ関数やガンマ関数の性質についてまとめていきたいと思います。 ガンマ関数・ベータ関数の定義 \( \displaystyle \Gamma (x)=\int_0^{\i […]
Year: 2017年
今週の問題 問９ 答え
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上野竜生です。問９の答えを発表します。 問９ 三辺の長さが13,14,15の三角形の重心をG，内心をIとおく。IGの長さを求めよ。 答え 下の図のようにOA=14,OB=15,AB=13とし，\( \vec […]
マニアックな漸化式の解法
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上野竜生です。最近の漸化式は通常のan+1=pan+q型か隣接3項間漸化式だけ解ければかなり解けるようになりました。しかしライバルと差をつけたいなど好奇心がある人向けに出題頻度は少ないが一応出題されうる変わった漸化式を紹 […]
合同式 書き方に注意
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上野竜生です。合同式は便利ですが書き方を間違えている人，少し意味を間違えている人が多いです。そこで書き方に注意して書けるようにしましょう。 Aをnで割った余りとaをnで割った余りが等しいとき A≡a (mod n) とか […]
今週の問題 問８ 答え
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上野竜生です。問８の答えを発表します。 問８ ★ \(f(x)=x^3-3x-1\)とし，\( f(x)=0 \)の解を\( \alpha, \beta , \gamma \)とする。（異なる3つの実数解です。[証明不要 […]
2017年年末ジャンボの平均（期待値）と標準偏差を計算してみた
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上野竜生です。2017年の年末ジャンボの期待値と分散・標準偏差を計算してみることにしました 年末ジャンボ 等級 金額(x) 確率(p) xp x2p 1等 7億円 1/2000万 35 245億 前後賞 1.5億円 1/ […]
今週の問題 問７ 答え
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上野竜生です。問７の答えを発表します。 問７ すべての実数xに対し \( \cos{2x}=\cos^a{x}-\sin^b{x} \) が成立するような自然数の組\( (a,b) \)をすべて求めよ。 答 […]
n進法とは？
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上野竜生です。n進法については定義をしっかり理解しておけば高校範囲では問題ないでしょう。出題頻度はそれほど高くなく，定義に戻って考える時間はあるでしょう。 n進法の定義 n進法で\( a_k a_{k-1} \cdots […]
確率 (箱から玉を取り出す系)
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上野竜生です。前回，サイコロを投げる確率を扱いました。今回は確率の中でも箱から玉を取り出す問題に絞って紹介していきます。 取り出した玉を元に戻すか戻さないかが大事 問題文に書かれています。どう考えるのかというと ・元に戻 […]
宝くじの確率・期待値の計算方法
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上野竜生です。 宝くじの確率の計算などをやってみようと思います。ただしここでは一般論を考えてみたいと思います。 まずは比較的シンプルな場合 1等 x1円 確率p1 2等 x2円 確率p2 ハズレ 0円 1- […]
塾に行かなくても授業が受けられる「スタディサプリ」
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上野竜生です。皆さんは塾に行ってますか？難関大学に受かるには良い授業を受けないと厳しいのはわかってるけど高い・・・と思う人が普通でしょう。今回はそんな悩みを解決できるサイトを見つけたので紹介します。 スマホで授業を閲覧で […]
今週の問題 問６ 答え
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上野竜生です。問６の答えを発表します。 問６ ★ ある自然数\(n\)に対し\( (1+\sqrt{2})^n \)を計算すると整数部分は 263672646となった。この\( n \)と整数\( x,y \)に対し \ […]
数検1級への対角化・ジョルダン標準形
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上野竜生です。今日は行列の対角化・ジョルダン標準形のお話をします。ただしその前に行列式・固有値までの話が理解できていることが前提になります。 次の行列Aを対角化せよ。また対角化する行列Pを求めよ。（つまり\( P^{-1 […]
数検1級への統計学
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上野竜生です。数検１級の統計の問題はほぼ積分計算の知識でできます。実際に見ていきましょう。 f(x)を確率密度関数とするとき次が成り立ちます。 \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\inft […]