数IIレベルの複素数です。なので複素数平面（数III）とは異なります。解の公式などを中心に扱います。
4次方程式の解の公式
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上野竜生です。5次以上の方程式には解の公式が存在しません。ギリギリ解の公式が存在するのが4次方程式までです。4次方程式の解の公式ってどんなのだろう？覚えられるのかな？と興味をもつのは自然な考えでしょう。残念ながら4次方程 […]
数II 複素数
3次方程式の解の公式の考え方
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上野竜生です。今回は3次方程式の解の公式の考え方を理解しましょう。一般の場合で処理するのはきわめて大変なので比較的簡単な具体例で理解するようにします。 導出方法や本質部分はこれで十分理解できると思います。 一般の3次方程 […]
3次方程式の解から係数を決定する3つの方法
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上野竜生です。今回は実数係数の3次方程式で，虚数解が1つわかっているときに未知数2つを特定し，残りの解を求めます。 例題 a,bは実数とする。3次方程式 \( x^3-5x^2+ax+b=0 \) がx=2+iを解に持つ […]
因数分解できる3次方程式が異なる3つの実数解や2重解をもつ条件
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上野竜生です。今回は3次方程式が異なる3つの実数解や2重解をもつ条件を紹介します。因数分解できるときは因数分解してしまうと楽になりますが，ちょっとした落とし穴もあるので一度解いておきましょう。 例題 aを実数とする。3次 […]
4次方程式の解の個数（微分せずに工夫できる２パターン）
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上野竜生です。4次方程式の解の個数に関する問題を紹介します。微分まで習っていれば微分で計算するのが基本ですが，そんなことをしなくてもできるパターンを紹介します。 例題1 複2次式 aを実数とする。 \( x^4-ax^2 […]
和と積から2次方程式をつくる
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上野竜生です。今回は与えられた解をもつ2次方程式の作成や，和と積が与えられたときの2つの値を求めることを行います。実数のときにもやっているかもしれませんが複素数解をもつときを扱っています。 解と係数の関係 実数解をもつと […]
2次方程式のiを用いた解の公式と判別式
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上野竜生です。今回は複素数まで習ったうえでの2次方程式の解の公式と判別式を紹介します。 2次方程式の解の公式 \( ax^2+bx+c=0 \)の解は \( \displaystyle x=\frac{-b \pm \s […]
複素数の導入と四則演算
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上野竜生です。今回は複素数の導入と四則演算・大小比較ができないことと複素数の等式を扱います。 iの定義 実数では2乗すると必ず0以上になるが，2乗して-1になる数をiとする。 もちろんiは実数ではない。iは数直線上にはな […]
1の3乗根ωに関する問題
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上野竜生です。「1の3乗根のうち，1でないものの一つをωとする。このとき次の値を求めよ。」というタイプの解き方を紹介します。 ωの性質 ω3=1 かつ ω≠1（定義より明らか） 1を移項して因数分解するとω3-1=(ω- […]
方程式が共役な解とセットで現れることの証明
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上野竜生です。実数係数多項式がx=αを解に持つならばαと共役複素数も解にもつことは有名な事実だと思います。これを証明します。 実数係数多項式f(x)=0が\( x=\alpha\)を解にもつならば共役複素数\( x=\o […]
係数が対称である方程式の解き方(相反方程式)
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上野竜生です。相反(そうはん)方程式の解法を紹介します。 相反方程式とは ax4+bx3+cx2+bx+aのように係数が左右対称になっているもののことです。これによって相反であれば4次式や5次式が簡単に解け […]