辞書式に並べたとき何番目問題
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上野竜生です。数字を並べ替えたり文字を辞書式に並べ替える場合の問題を解説します。 数字の並べ替え 「１」「２」「３」「４」「５」「６」「７」の7つの数字を並べ替えてできる5040個の数字を小さいほうから順に並べ替える。 […]
著者：上野竜生
不定方程式
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上野竜生です。不定方程式の解き方を勉強します。 基本パターン２つを詳しく説明し，応用パターンを軽く紹介します。 基本パターン１：axy+bx+cy=dのパターン この場合は無理やり\( axy+bx+cy=d\)を\( […]
今週の問題 問43 答え
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上野竜生です。問43の答えを発表します。 問43 ★ 2a+2b+2cが10以下の整数となるような整数(a,b,c)の組は何個あるか 答え X=2a+2b+2cとする。明らかにX>0である。 a,b, […]
不定方程式を解く基本2パターン（大小関係の設定と因数分解）
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上野竜生です。整数問題の基本・不定方程式を解くときの基本パターンを2つ紹介します。 パターン１：大小関係の設定 例題１：\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\fr […]
√(2次関数)が整数となるnの値は？
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上野竜生です。√2次式が整数になるようなnの値を求める問題の解法を紹介します。 基本：＝Nとおき両辺を2乗する。 例題１：\( \sqrt{n^2-45} \)が整数となるような整数nの値をすべて求めよ。 答え\( \s […]
分数で書かれた式が整数となるnの値は？
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上野竜生です。分数で書かれた式が整数となるような整数(自然数)nの値を求めるパターンの解き方を紹介します。 例題１ 「\(\frac{a}{n}\)が整数⇔nはaの約数」を使うパターン \(\displaystyle \ […]
ユークリッドの互除法 大体は使わなくてもできますが・・・
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上野竜生です。○x＋△y=1を満たす整数x,yの組を1組見つけるのがユークリッドの互除法の大きなメリットです。その方法を解説します。なお，見つけた後の応用分野については別の記事で行います。 ユークリッドの互除法とは本来は […]
今週の問題 問42 答え
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上野竜生です。問42の答えを発表します。 問42 ★ \(\displaystyle \int_2^{\pi} \frac{\tan{x}}{\tan{x}+\tan{(2-x)}}dx \)の値を求めよ。 […]
三角形の面積比
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上野竜生です。三角形の面積比は線分比と密接な関係があります。これについて紹介します。 基本は三角形の面積の公式 三角形の面積の基本の公式は「底辺×高さ÷２」 ということは「底辺」「高さ」が等しい三角形の面積は等しいですし […]
三角形の二等分２パターン（角の二等分，中線定理）
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上野竜生です。三角形ABCの∠Ａから「何か」を二等分するように線を引くという問題がよく出ます。この問題の基本的な解法を解説します。 ＜基本技＞cosBの値を求めてBDの長さを求め余弦定理を使う 例題１ AB=8,AC=1 […]
チェバ・メネラウスの定理
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上野竜生です。チェバ・メネラウスの定理は便利なうえに簡単なのですぐに終わります。サクっと終わらせましょう。 今回使う図はこちら 三角形ABCの辺AB上に点Pを，BC上にQを，CA上にRをとるとAQ,BR,CPは1点Mで交 […]
三角形の五心 性質まとめ
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上野竜生です。三角形の○心がからむ問題は問題文の中に直接条件式が書かれておらず「見えない性質」を使うことが多いです。そこでその「見えない性質」をまとめてみました。 外心 各辺の垂直二等分線の交点 外接円の半径は正弦定理か […]
今週の問題 問41 答え
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上野竜生です。問41の答えを発表します。 問41 ★ \(\displaystyle \log_{2}{x}+\log_{3}{x}=\log_{a}{x} \)を満たす定数aの値は\(\displaystyle a=( […]
ユークリッドの互除法の応用
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上野竜生です。前回はユークリッドの互除法を用いてa,bが互いに素なとき，ax+by=1を満たす整数x,yを求めることをしました。今回はその部分はできるものとして応用を紹介していきたいと思います。 右辺=1で […]
素因数分解のやり方・簡単な応用問題
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上野竜生です。素因数分解ができない人のために素因数分解の基本と、単純に「素因数分解せよ」という問題以外で簡単な応用問題も紹介します。 素因数分解とは すべての自然数Nは素数p1,p2,・・・,pnと0以上の整数k1,k2 […]