今週の問題 問27 答え
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上野竜生です。問27の答えを発表します。 問27 ★ x9をx3-x+2で割った余りを求めよ。 答え 実際に割り算してもいいですが・・・ x3-x+2=(x-α)(x-β)(x-γ)とする。（ […]
Author: 上野竜生
体積の求め方（回転体ではない立体を積分で）
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上野竜生です。立体の体積の求め方ですが球のように公式があるものはそれで求めればいいです。また回転体は回転体の公式通りやればいいのでそれほど難しくありません。ここでは回転体でない立体の体積を積分で計算する方法を紹介します。 […]
グラムシュミットの直交化法
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上野竜生です。n本のベクトルが与えられたときそれらを正規直交化する方法（グラムシュミットの直交化法）を解説します。 正規直交化の方法 n本のベクトルでもできますが，計算量の都合でテストやレポートには普通n=3のときしかで […]
チェビシェフの多項式（cosのn倍角の公式）
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上野竜生です。cosのn倍角の公式を紹介します。 cosのn倍角の公式 始めのうち(n=3まで)は教科書で習いますし，n=4,5ぐらいなら現実的な時間で導けると思います。結果だけ示します。 cosθ=cosθ cos2θ […]
関数方程式(基本の4パターン)
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上野竜生です。基本的な関数方程式とその解法を紹介します。 まずは結果を覚えよう！ 基本パターンについては結果を覚えて逆算的に解くほうが楽です。なお，すべての問題で連続性や微分可能性は満たすと仮定します。 ・f(x+y)= […]
3次関数の最大最小極大極小問題～頻出かつ簡単～
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上野竜生です。3次関数の最大最小問題は非常に簡単なので計算間違いとの戦いです。確実に理解しましょう。 具体例 例題: \( f(x)=x^3-3x \)の極大値を求めよ。 この問題では１パターンです。 1. f(x)を微 […]
今週の問題 問26 答え
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上野竜生です。問26の答えを発表します。 問26 ★ 次の空欄を埋めてください。センター試験のようにカタカナ1文字に数字1つが入ります。 円周上に点A,X,B,C,Dがこの順で反時計回りにある。 弦ACと弦BDは垂直に交 […]
重心の軌跡
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上野竜生です。今回は重心の軌跡に関する問題を１つ解いてみます。慣れればかなり基本的な部類ですが慣れるまで少しややこしいかもしれません。 問題 A(1,2) , B(2,-5)とする。点Pが円(x-6)2+y2=9の円周上 […]
3つの直交する円柱の共通部分の体積
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上野竜生です。今回は3つの直交する円柱の共通部分の体積を紹介します。2つのときとほぼ同様ですが計算が大変になることと，それをうまく回避する技も紹介します。もちろん大変な計算も省略せず1つ1つ丁寧に式変形して書いていきます […]
極値から係数を求める方法
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上野竜生です。極値から係数を求める方法を紹介します。途中までは基本通りですが最後に十分性を確認しないといけないのがポイントです。 極値から係数を求める方法 f(x)がx=αで極値をとる⇒f'(α)=0 なのでまずf'(x […]
今週の問題 問25 答え
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上野竜生です。問25の答えを発表します。 問25 \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1} , g(x)=\frac{1}{x-2} \)とおく。 (1) \( f^{(n)}(0) \)を […]
高次式の値は割り算をして次数を下げよ！
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上野竜生です。√を含む複雑な式の代入は地道に計算する必要がありません。割り算の余りを使った解法がありますので紹介します。 例題１ \( \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)のとき，\ […]
回転体の体積の求め方-一般論-
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上野竜生です。回転体の体積を求める一般論を紹介します。 超基本：y=f(x)とx=α,x=β,x軸で囲まれた部分をx軸中心に1回転 体積\(\displaystyle V=\int_{\alpha}^{\beta} \p […]